Типовые математические схемы

2.3.1. Непрерывно-детерминированные модели (D –схемы)

Использование D – схем позволяет формализовать процесс функционирования непрерывно-детерминированных систем и оценить их основные характеристики. Математические схемы данного вида отражают динамику изучаемой системы, т.е. её поведение во времени, поэтому называются D – схемами (англ. Dynamic System).

В качестве непрерывно-детерминированных моделей динамических систем используются дифференциальные уравнения, передаточные функции и описание в пространстве состояний [13].

Дифференциальные уравнения и передаточные функции образуют математические модели вход-выход (модели типа «ВВ»), описывающие связи входных и выходных сигналов динамической системы.

Чтобы получить математическое описание динамической системы, необходимо составить дифференциальные уравнения всех элементов, образующих систему. Таким образом, получим систему дифференциальных уравнений, описывающую исследуемую систему. Полученная система дифференциальных уравнений путём исключения промежуточных переменных может быть разрешена относительно любой координаты системы. Обычно она решается относительно выходной величины y(t). В этом случае получается следующее дифференциальное уравнение

D(p)y(t) = R(p)g(t) + N(p)f(t), (2.2)

где – алгебраизированный символ дифференцирования;

y(t)) – выходная характеристика системы;

g(t)) – входное воздействие на систему;

f(t) – воздействие внешней среды на систему;

; ; – полиномы степени

n, m, k от символа дифференцирования p, причём n ³ m, k;

a_i, b_i, c_i – постоянные коэффициенты.

Уравнение, описывающие динамику системы, может быть представлено в другой форме. Для этого перепишем уравнение (2.2) в операторном виде, перейдя от функций времени к их изображениям по Лапласу.

В результате получим:

, (2.3)

где s – оператор Лапласа;

Y(s), G(s), F(s) – изображения по Лапласу выходной характеристики,

входного воздействия и воздействия внешней среды на

систему;

; – передаточные функции системы по

входному воздействию и воздействию

внешней среды;

; ; – полиномы степени

n, m, k от оператор Лапласа s, причём n ³ m, k;

a_i, b_i, c_i – постоянные коэффициенты.

Таким образом, поведение системы может быть исследовано на основе выражений (2.2) и (2.3), которые представляют собой математические модели динамических систем типа вход-выход.

Описание в пространстве состояний образует математические модели вход-состояние-выход (модели типа «ВСВ»).

Описание в пространстве состояний представляет собой общий взгляд на любые системы и пригодно для исследования и проектирования сложных систем с многими входами и выходами, то есть многомерных и многосвязных систем. С математической точки зрения анализ систем в пространстве состояний означает использование методов матричного исчисления и векторного анализа.

В общем случае обыкновенных линейных систем, описываемых системой дифференциальных уравнений в нормальной форме, рассматриваемая система может быть определена следующей векторно-матричной формой

, (2.4)

где X – вектор состояния системы;

Y – вектор выходных управляемых величин;

U – вектор внешних воздействий (входных и возмущающих);

А, В, С, D – матрицы системы.

Система уравнений (2.4) является стандартным описанием динамических систем в пространстве состояний и представляет собой математическую модель вход-состояние-выход.

Уравнения (2.4) несут большой объём информации о динамических свойствах системы. Первое уравнение из (2.4) определяет динамические характеристики системы, а второе является уравнением выхода.

Матрица системы A, элементы которой определяются структурной схемой системы и значениями её параметров, характеризует динамические свойства системы, её свободное движение. Матрица управления B характеризует влияние внешних воздействий на переменные состояния системы, т.е. определяет чувствительность системы к внешним воздействиям (входным и возмущающим). Матрица наблюдения C характеризует связь выходной величины системы с вектором состояния. Обычно не все составляющие вектора состояния являются наблюдаемыми сигналами, т.е. могут быть измерены с помощью каких-либо датчиков, в то время как выходной сигнал всегда наблюдаем. Матрица связи D устанавливает связь выходной величины системы с внешним воздействием.

Таким образом, четверка матриц A, B, C, D полностью определяет динамическую систему.

2.3.2. Дискретно-детерминированные модели (F –схемы)

Использование F – схем позволяет формализовать процесс функционирования дискретно-детерминированных систем, для которых характерно наличие дискретных состояний и дискретный характер работы во времени [8].

Дискретно-детерминированные модели широко используются в качестве математического аппарата теории автоматов. Теория автоматов – это раздел технической кибернетики, в котором изучаются математические модели – автоматы. На основе этой теории система представляется в виде автомата, перерабатывающего дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени.

Автомат можно представить как некоторое устройство (чёрный ящик), на которое подаются входные сигналы и снимаются выходные и которое может иметь некоторое внутреннее состояние. Конечным автоматом называется автомат, у которого множества внутренних состояний, входных сигналов и выходных сигналов являются конечными множествами.

Абстрактный конечный автомат (англ. Finite Automata) математически задаётся F – схемой:

F = < X, Y, Z, φ, ψ, z₀ >, (2.5)

где X – конечное множество входных воздействий (входной алфавит);

Y – конечное множество выходных величин (выходной алфавит);

Z – конечное множество внутренних состояний (алфавит состояний);

z₀ – начальное состояние, z₀ Î Z;

φ (z, x) – функция переходов;

ψ (z, x) – функция выходов.

Автомат, задаваемый F – схемой, функционирует в дискретном времени t = nT, где T – период дискретности (такт, т.е. равный интервал времени); n = 0, 1, 2, 3… – номер такта.

На каждом такте дискретного времени F –автомат находится в определённом состоянии z (n) из множества Z состояний автомата, причём в начальный момент времени t = 0 он всегда находится в начальном состоянии z (0) = z₀. В момент времени t = nT, будучи в состоянии z (n), автомат способен воспринимать на входе сигнал x (n) Î X и выдавать на выходе сигнал y (n) = ψ [ z (n), x (n)], переходя в состояние z (n+1) = φ [ z (n), x (n)], z (n) Î Z, y (n) Î Y.

Таким образом, работа конечного автомата происходит по следующей схеме: в каждый n -й такт на вход автомата, находящегося в состоянии z (n), подаётся некоторый входной сигнал x (n), на который он реагирует переходом в (n+1)-м такте в новое состояние z (n+1) и выдачей некоторого выходного сигнала y (n).

Классификацияконечных автоматов. F –автоматы разделяются по математическому описанию, по числу состояний и по характеру отсчёта дискретного времени.

По математическому описанию автоматы делятся на автоматы первого и второго рода.

F –автомат первого рода, называемый автоматом Мили, описывается следующими уравнениями:

, n = 0, 1, 2, 3 … (2.6)

Для F –автомата второго рода уравнения имеют вид:

, n = 0, 1, 2, 3 … (2.7)

Автомат второго рода, для которого функция выходов не зависит от входной переменной x (n), называется автоматом Мура:

, n = 0, 1, 2, 3 … (2.8)

По числу состояний различают конечные автоматы с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти обладают лишь одним состоянием. Автоматы без памяти ставят в соответствие каждому входному сигналу x (n) определённый выходной сигнал y (n), реализуя функцию вида y (n) = ψ [ x (n)], n = 0, 1, 2, 3 ….

По характеру отсчёта дискретного времени конечные автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных F – автоматах моменты времени, в которые автомат «считывает» входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. После очередного синхронизирующего сигнала с учётом считанного входного воздействия и в соответствии с уравнениями (2.6) – (2.8) происходит переход в новое состояние и выдача сигнала на выходе, после чего автомат может воспринимать следующее значение входного сигнала. Таким образом, реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт, длительность которого определяется интервалом времени между соседними синхронизирующими сигналами. Асинхронный F – автомат считывает входной сигнал непрерывно и поэтому, реагируя на достаточно длинный входной сигнал постоянной величины x (n), он может, как следует из (2.6) – (2.8), несколько раз изменять состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдёт в устойчивое состояние, которое уже не может быть изменено данным входным сигналом [8].

Способы задания работы автоматов. Чтобы задать конечный F –автомат, требуется описать все элементы множества F = < X, Y, Z, φ, ψ, z₀ >, т.е. входной, выходной алфавиты и алфавит состояний, а также функции переходов и выходов. Причём среди множества состояний необходимо выделить состояние z₀, в котором автомат находится в момент времени t = 0. Существует несколько способов задания работы F –автоматов, но наиболее часто используются табличный, графический и матричный.

Табличный способ задания конечного автомата основан на использовании таблиц переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы – его состояниям. При этом обычно первый слева столбец соответствует начальному состоянию z₀. На пересечении i -ой строки и k -го столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение φ (z_k, x_i) функции переходов, а в таблице выходов – соответствующее значение ψ (z_k, x_i) функции выходов. Для F –автомата Мура обе таблицы совмещаются в отмеченную таблицу переходов, в которой над каждым состоянием z_k автомата, обозначающим столбец таблицы, ставится соответствующее этому состоянию значение ψ (z_k) выходного сигнала.

Описание работы F –автоматов Мили иллюстрируется таблицей 2.1, а пример табличного способа задания F –автомата Мили с тремя состояниями (z₀, z₁, z₂), двумя входными (x₁, x₂) и двумя выходными (y₁, y₂) сигналами приведён в таблице 2.2.

Поиск по сайту: