Задача К2

(тема: “Кинематика плоского механизма”)

Плоский механизм состоит из стержней 1-4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О ₂, шарнирами (рис. К2.0-К2.9). Длины стержней: l₁ = 0,4 м, l₂ = 1,2 м, l₃ = 1,4 м, l₄ = 0,8 м. Положение механизма определяется углами a, b, g, j, q, которые вместе с другими величинами заданы в табл. К2. Точка D на всех риcyнках и точка K на рис. К2.7-К2.9 расположены в середине соответствующего стержня.

Определить величины, указанные в таблице в столбце "Найти". Найти также ускорение а_А точки А стержня 1, если стержень 1 имеет в данный момент времени угловое ускорение ɛ ₁ = 10 с^-2.

Таблица К2

Номер условия	Углы	Дано	Найти
a°	b°	g°	j°	q°	w 1/с	w 1/с	u м/с
							-	-
						-		-
						-	-
							-	-
						-		-
						-	-
							-	-
						-		-
						-	-
							-	-

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа должны откладываться соответствующие углы, т.е. по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол g на рис. 1 следует отложить от стержня DE против хода часовой стрелки, а на рис. 2 - от стержня АЕ по ходу часовой стрелки).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом a; ползун В и его направляющие для большей наглядности изобразить, как в примере К2 (см. рис. К2). Заданную угловую скорость считать направленной против хода часовой стрелки, а заданную скорость u_В- от точки В к b.

Указания. Задача К2 - на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

Теорема сложения скоростей (метод полюса)
	Абсолютная скорость любой точки B тела равна векторной сумме скорости полюса и скорости точки B в относительном движении вокруг полюса A: . Вектор , модуль .
Теорема о проекциях скоростей
	Проекции абсолютных скоростей точек на прямую, соединяющую эти точки, алгебраически равны. .

Метод мгновенного центра скоростей тела (МЦС)
Определение: МЦС тела называется точка подвижной плоскости, абсолютная скорость которой в данный момент времени равна нулю . МЦС тела находится на пересечении перпендикуляров, проведенных в двух точках тела к векторам абсолютных скоростей этих точек.
	Если точку взять за полюс, то приходим к выводу: абсолютные скорости точек тела соответствуют мгновенному повороту тела вокруг МЦС тела. , , , .

Пример К2. Механизм (рис. К2, а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами.

Дано: a = 120°, b = 60°, g = 90°, j = 0°, q = 30°. AD = DE, l ₁ = 0,6 м, l ₃ = 1,2 м, w ₁ = 5 с^-1, ɛ ₁ =8 с^-2.

Определить: и а_A.

Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К2, б).

2. Определяем u_E. Точка Е принадлежит стержню AЕ. Чтобы найти u_E, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление u_E. По данным задачи можем определить

(1)

Направление найдем, учтя, что точка Е принадлежит одновременно стержню 0 ₂ Е, вращающемуся вокруг О ₂; следовательно, ^ 0 ₂ Е. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АЕ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АЕ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

(2)

3. Определяем u_В. Точка В принадлежит стержню BD. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить u_В, надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АЕ. Для этого, зная и , построим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АЕ; это точка С ₂, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восставленных из точек А и Е (к и перпендикулярны стержни 1 и 4).По направлению вектора определяем направление поворота стержня АЕ вокруг МЦС С ₂. Вектор будет перпендикулярен отрезку С ₂ D, соединяющему точки D и С ₂, и направлен в сторону поворота. Величину найдем из пропорции

(3)

Чтобы вычислить С ₂ D и С ₂ А, заметим, что D AС ₂ E - прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30 и 60°, и что С ₂ А = AE sin 30° = 0,5 АЕ = AD. Тогда D AС ₂ D является равносторонними С ₂ А = С ₂ D. В результате равенство (3) дает

(4)

Так как точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно, то направление известно. Тогда, восставляяиз точек В и D перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС С ₃ стержня BD. По направлению вектора определяем направление поворота стержня BD вокруг центра С ₃. Вектор будет направлен в сторону поворота стержня BD. Из рис. К2, б видно, что Ð С ₃ DB = 30°, a Ð D С ₃ B = 90°, откуда С ₃ B = l ₃ sin 30°, С ₃ D = l ₃ cos 30°. Составив теперь пропорцию, найдем, что

(5)

4. Определяем w₃. Так как МЦС стержня 3 известен (точка С₃), то

5. Определяем а_A. Так как ɛ ₁ известно, то а_At=l ₁ ɛ ₁. Далее , или . Тогда . Произведя вычисления, получим а_А = 15,8 м/с².

Ответ: u_Е = 5,2 м/с, u_В = 1,7 м/с, w₃ = 2,9 с^-1, а_А = 15,8 /с².

Поиск по сайту: