Аналіз математичних методів прогнозування валютних курсів

Будь-яка сукупність валютних курсів є сукупністю часових рядів. Далі ми розглянемо прогнозування часових рядів методами лінійного підходу та за допомого теорії нейронних мереж.

Лінійний підхід виявляє закономірності, необхідні для побудови прогнозу, на припущенні про лінійну залежність розглянутих рядів. Основоположним визначенням в теорії часових рядів є поняття стаціонарності.

Робота з часовими рядами за допомогою економетричного апарату пов'язана з деякими труднощами. На відміну від просторових вибірок, часові ряди повинні мати певні властивості для того, щоб з ними можна було працювати. Однією з таких вимог є вимога стаціонарності від ряду. Якщо розглянутий ряд виявляється нестаціонарним, то при його аналізі велика ймовірність побудови «уявної регресії», тобто визначення статистично значущою зв'язку там, де її насправді немає.

Введемо визначення стаціонарного ряду. Ряд у, називається строго стаціонарним (strictly stationary) або стаціонарним у вузькому сенсі, якщо спільний розподіл m спостережень y_t1, y_t2,…, y_tm не залежить від зсуву за часом, тобто збігається з розподілом y_t1+t, y_t2+t,…, y_tm+t для будь-яких m і t. Зазвичай нас цікавлять середні значення та коваріації, а не весь розподіл. Тому часто використовується поняття слабкої стаціонарності (weak stationarity) або стаціонарності в широкому сенсі, яке полягає в тому, що середнє, дисперсія і коваріації у, не залежать від моменту часу t:

E(y_t)=µ<∞

V(y_t)=ɣ₀

Cov(y_t,y_t-k)= ɣ_k

Як можна бачити, з суворої стаціонарності слід слабка стаціонарність. Надалі скрізь під «стаціонарним» поруч буде розумітися слабо стаціонарний ряд.

Введемо поняття автокореляційної функції (autocorrelation function), ACF:

ACF грає важливу роль в задачі ідентифікації моделей часових рядів. У цьому можна переконатися, побачивши ряд прикладів, наведених нижче.

Прикладом нестаціонарного ряду є «випадкове блукання» (random walk):

Іншими словами, ряд діє за принципом «сьогодні як вчора», спотворюючись на випадкову величину з нульовим середнім і постійною дисперсією. Таке блукання нестаціонарні, тому що дисперсія від спостереження до спостереження тільки зростає. Графічна ілюстрація наведена нижче.

На відміну від випадкового блукання процес AR (1) (авторегресійна модель порядку 1) у, = стаціонарне при . Процес випадкового блукання відрізняється від стаціонарного AR (1) процесу тим, що вплив випадкових складових у першому разі не загасає, в той час як у другому випадку вплив збурень загасає з часом:

Магнус Я.Р. показує також, що процес виду

не є стаціонарним і не зустрічається в реальних економічних прикладах.[16]

Тренд і сезонність.

Розглянемо деякі приклади нестаціонарних рядів і визначимо порядок дій при виявленні ряду того чи іншого типу. Будуть розглянуті тренд і сезонність.

Якщо часовий ряд містить тренд, то його вигляд можна представити таким чином:

.

Тут ряд представлений у вигляді композиції детермінованою складової і випадкової складової, що є стаціонарним часовим поруч з нульовим середнім. Часто зустрічаються такі приклади тренда: квадратичний, експонентний тощо.

Для того щоб виділити тренд в моделі з лінійним трендом (і їй подібних), можна застосувати звичайну техніку оцінювання параметрів регресійних рівнянь, вважаючи t незалежної змінної. Після цього ми отримаємо ряд, залишків, для опису якого можна буде застосувати моделі стаціонарних часових рядів.

В економічних даних часто зустрічається сезонна компонента. Наприклад, в квартальних даних може спостерігатися сезонна компонента з періодом 4:

Тут ряд представлений у вигляді композиції періодичної детермінованою складової (сезонна компонента) і випадкової складової, що є стаціонарним часовим поруч з нульовим середнім. Сезонну компоненту можна представити у вигляді суми фіктивних (бінарних) змінних. У цьому випадку сезонна модель приймає наступний вигляд:

До розглянутих вище рядам (тренд, сезонність і випадкове блукання) може бути застосована методика взяття послідовної різниці.

Як вже було визначено вище, випадкове блукання є прикладом нестаціонарного часового ряду. Однак якщо до нього застосувати операцію взяття послідовної різниці, одержимо стаціонарний часовий ряд:

,

Взяття різниці також призводить до стаціонарного процесу ряд з лінійним трендом:

(1.16), де

. У випадку з квадратичним трендом взяття першої різниці не приводить до стаціонарного ряду, але якщо взяти другу різниця, то вийшов ряд є стаціонарним.

У разі наявності сезонної компоненти усунути її можна за допомогою оператора взяття сезонної послідовної різниці (за умови, якщо період сезонної компоненти дорівнює 4):

Зауважимо, що застосування оператора послідовної різниці не обов'язково призводить нестаціонарний ряд до стаціонарного. Наприклад, процес AR(1) з коефіцієнтом при лагірованній змінній більше 1 не є стаціонарним. Застосувавши до даного ряду оператор різниці, ми отримаємо все той же нестаціонарний ряд. Повторне застосування оператора різниці також не приводить до стаціонарного ряду.

Таким чином, застосовуючи виділення тренда, сезонності і / або оператор послідовної різниці, часто можна одержати з вихідного часового ряду стаціонарний.

Існує кілька способів виявлення стаціонарності розглянутого ряду. Першим способом є візуальний аналіз графіка ряду з метою виявлення трендів, сезонності, різких стрибків розглянутих даних. Все це є аргументом для прийняття гіпотези про нестаціонарності часового ряду.[17]

Якщо візуально стаціонарність визначити складно, зазвичай аналізують автокореляційну (ACF) і приватну автокореляційну функцію (PACF). У процедурі обчислення вибіркового приватного коефіцієнта кореляції виявляється, що у разі стаціонарного ряду значення вибіркової приватної автокореляційної функції PACF (k) обчислюється як МНК-оцінка останнього коефіцієнта в AR (k) регресійному рівнянні:

Коррелограмма стаціонарного часового ряду «швидко убуває" з ростом k після кількох перших значень. Якщо ж графік убуває досить повільно, то є підстави припустити нестаціонарність ряду. Графік PACF повинен також швидко спадати для стаціонарного ряду.

У коррелограмі є ще одна дуже корисна властивість: з її допомогою можна визначати залежність між членами ряду. Іншими словами, за коррелограми можна визначити вид авторегресійної моделі.

Якщо і після цього методу залишаються сумніви щодо стаціонарності ряду, можна використовувати формальні тести на наявність в операторі зсуву одиничного кореня (ознака нестаціонарності). Зазвичай використовують тест Дікі-Фуллера (DF), розширений тест Дікі-Фуллера (ADF), та інші.

Нульовою гіпотезою тесту Дікі-Фуллера і його розширення є наявність випадкового блукання, тобто відсутності стаціонарності ряду. У своїй роботі Д. А. Дікі і В.А. Фуллер довели, що якщо ряд нестаціонарний, то звичайний спосіб перевірки статистичної значущості отриманих оцінок (розподіл Стьюдента і асимптотично нормальний розподіл) не можуть бути використані. Основою для перевірки гіпотези служить розроблена цими вченими статистика.[18]

Якщо замість членів часового ряду розглядаються їх різниці різного порядку, то тест називається розширеним.

Моделі авторегресії і ковзного середнього

Розглянемо наступний клас моделей стаціонарних часових рядів:

У більш короткому записі модель можна переписати так (через оператори зсуву):

, де

і

- поліноми від оператора зсуву. Така модель називається моделлю авторегресії і ковзного середнього (autoregressive moving average) або ARMA (p, q). Найчастіше зустрічаються прості моделі типу AR (1), AR (2), MA (1), MA (2), ARMA (1,1).

Моделі Бокса-Дженкінса (ARIМА).

Модель Бокса-Дженкінса розглядає моделі часових рядів у вузькому сенсі, тобто поведінка часового ряду пояснюється виключно з його значень у попередні моменти часу.

Як було показано вище, статистичні властивості стаціонарних і нестаціонарних часових рядів істотно відрізняються, і для їх моделювання повинні застосовуватися різні методи.

Як було показано вище, деякі нестаціонарні часові ряди можуть бути приведені до стаціонарних за допомогою оператора взяття послідовної різниці. Припустимо, що часовий ряд , після того, як до нього застосували d раз оператор послідовної різниці, став стаціонарним рядом , задовольняє ARMA (p, q) моделі. Тоді процес у, називається інтегрованим процесом авторегресії і ковзного середнього ARIMA (p, d, q).[19]

Нейронні мережі у прогнозуванні часових рядів.

Під нейронними мережами маються на увазі обчислювальні структури, які моделюють прості біологічні процеси, зазвичай асоційовані з процесами людського мозку. Адаптуються і навчають, вони представляють собою розпаралеленні системи, здатні до навчання шляхом аналізу позитивних і негативних впливів. Елементарним перетворювачем в даних мережах є штучний нейрон або просто нейрон, названий так за аналогією з біологічним прототипом.

До теперішнього часу запропоновано і вивчено велику кількість моделей нейроподібних елементів і нейронних мереж, ряд з яких розглянуто в цьому розділі.

Термін «нейронні мережі» (neural networks) сформувався в 40-х роках XX століття в середовищі дослідників, які вивчали принципи організації та функціонування біологічних нейронних мереж. Основні результати, отримані в цій області, пов'язані з іменами американських дослідників У. Маккалоха, Д. Хебба, Ф. Розенблатта, М. Мінського, Дж. Хопфілда та ін.[20]

Уявімо деякі проблеми, які вирішуються в контексті нейронних мереж і представляють інтерес для користувачів.

Ø Класифікація образів. Завдання полягає у вказівці приналежності вхідного образа (наприклад, мовного сигналу або рукописного символу), представленого вектором ознак, одному або декільком попередньо визначеним класам. До відомих додатків ставляться розпізнавання букв, розпізнавання мови, класифікація сигналу електрокардіограми, класифікація клітин крові.

Ø Кластеризація / категоризація. При вирішенні завдання кластеризації, яка відома також як класифікація образів «без вчителя», відсутня навчальна вибірка з мітками класів. Алгоритм кластеризації заснований на подобі образів і розміщує близькі образи в один кластер. Відомі випадки застосування кластеризації для видобування знань, стиснення даних, дослідження властивостей даних.

Ø Апроксимація функцій. Припустимо, що є навчальна вибірка (пари даних вхід-вихід), яка генерується невідомою функцією F(х), спотвореної шумом. Завдання апроксимації полягає в знаходженні оцінки невідомої функції F(х). Апроксимація функцій необхідна при вирішенні численних інженерних і наукових задач моделювання.

Ø Передбачення/прогноз. Нехай задані п дискретних відліків в послідовні моменти часу. Завдання полягає в прогнозі значення в деякий майбутній момент часу до k+1. Передбачення/прогноз має значний вплив на прийняття рішень у бізнесі, науці і техніці. Передбачення цін на фондовій біржі і прогноз погоди є типовими додатками техніки передбачення / прогнозу.

Ø Оптимізація. Численні проблеми в математичній статистиці, техніці, науці, медицині та економіці можуть розглядатися як проблеми оптимізації. Завданням алгоритму оптимізації є знаходження такого рішення, яке задовольняє системі обмежень і максимізує або мінімізує цільову функцію. Відома завдання комівояжера є класичним прикладом задачі оптимізації.

Ø Пам'ять, що адресується за змістом. У моделі обчислень фон Неймана звернення до пам'яті доступно тільки за допомогою адреси, який не залежить від змісту пам'яті. Більше того, якщо допущена помилка в обчисленні адреси, то може бути знайдена зовсім інша інформація. Асоціативна пам'ять, або пам'ять, що адресується за змістом, доступна за вказівкою заданого змісту. Вміст пам'яті може бути викликано навіть часткового входу чи спотвореного змісту. Асоціативна пам'ять надзвичайно бажана при створенні мультимедійних інформаційних баз даних.

Ø Управління. Розглянемо динамічну систему, задану сукупністю , де u(t) є вхідним керуючим впливом, а у(t) - виходом системи в момент часу t. У системах управління з еталонною моделлю метою управління є розрахунок такого вхідного впливу u(t), при якому система слід за бажаною траєкторії, що диктується еталонною моделлю. Прикладом є оптимальне управління двигуном.

Мається багато вражаючих демонстрацій можливостей штучних нейронних мереж: мережа навчили перетворювати текст у фонетичне уявлення, яке потім за допомогою вже інших методів перетворювалося в мову; інша мережа може розпізнавати рукописні букви; сконструйована система стиснення зображень, заснована на нейронної мережі. Всі вони використовують мережу зворотного поширення - найбільш успішний, мабуть, з сучасних алгоритмів. Зворотне поширення є систематичним методом для навчання багатошарових мереж.[21]

Однак, зворотне поширення не вільне від проблем. Перш за все, немає гарантії, що мережа може бути навчена за кінцевий час. Багато зусиль, витрачених на навчання, пропадає марно після витрат великої кількості машинного часу. Коли це відбувається, спроба навчання повторюється - без всякої впевненості, що результат виявиться кращим. Немає також впевненості, що мережа навчиться найкращим можливим чином. Алгоритм навчання може потрапити в «пастку» так званого локального мінімуму і буде отримане гірше рішення.

Розроблено багато інших мережевих алгоритмів навчання, що мають свої специфічні переваги.

Більш детально застосування теорії нейронних мереж та алгоритм роботи нейронних мереж у зв’язку із теорією нечітких множин буде розписаний у наступному розділі.

Поиск по сайту: