Глава 1.1.Формы записи пассивного проходного четырехполюсника. Способы определения коэффициентов четырехполюсника

УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 1. АНАЛИЗ ОБЩИХ СВОЙСТВ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Общие положения

Часть электрической цепи, имеющая две пары внешних зажимов, называется четырехполюсником. Понятие «четырехполюсник» используется тогда, когда рассчитывают напряжение и токи только в двух ветвях цепи. В качестве четырехполюсника может быть представлен трансформатор, длинная линия, усилитель. На практике к категории четырехполюсников, прежде всего, обращаются при анализе линий связи, предназначенных для передачи информации. Тракт передачи таких сигналов состоит из ряда четырехполюсников, включенным между генератором и приемником сигналов. Четырехполюсный элемент имеет две пары внешних зажимов (рис. 1.1).

а) б)

Рис. 1.1

Одну пару выводов 1-1´ называют первичными или входными – к ним обычно подключают генератор. Вторую пару выводов 2-2´ называют вторичными или выходными – к ним обычно подключают нагрузку. В том случае, когда источники питания и приемники подключаются только к вводам четырехполюсника, обозначенными одинаковыми цифрами, четырехполюсник называется проходным.

Все четырехполюсники разделяются на пассивные и активные. Активные четырехполюсники содержат внутри себя независимые и зависимые источники питания. При этом если источники являются независимыми, то на внешних разомкнутых зажимах четырехполюсника имеется напряжение, обусловленное внутренними источниками. Такой четырехполюсник называется автономным. В случае, если источники питания являются зависимыми, например, в схеме замещения транзистора или операционного усилителя, то после отключения четырехполюсника от остальной части схемы напряжение на его зажимах отсутствует. Такой активный четырехполюсник называется неавтономным. Активный четырехполюсник имеет в обозначении букву А (рис. 1.1 б). Пассивный четырехполюсник не содержит источников питания.

Различают четырехполюсники симметричные и несимметричные. Четырехполюсники являются симметричными, если при перемене местами входных и выходных зажимов токи и напряжения в цепях, подключенных к четырехполюснику, не изменяются.

Четырехполюсник называется обратимым, если между входными и выходными зажимами выполняется принцип взаимности. Пассивный линейный четырехполюсник является обратимым.

Основной смысл теории четырехполюсников заключается в том, что пользуясь некоторыми обобщенными параметрами, можно находить токи и напряжения на входе и выходе четырехполюсника. В общем случае схема самого четырехполюсника может быть и неизвестна.

Глава 1.1.Формы записи пассивного проходного четырехполюсника. Способы определения коэффициентов четырехполюсника

Уравнения четырехполюсника устанавливают связь между двумя напряжениями и двумя токами, определяющими режим на первичных и вторичных выводах. Если считать две указанные величины заданными, то две другие величины будут связаны с ними системой из двух уравнений. Всего можно записать шесть видов уравнений (сочетание из четырех по два). При записи уравнений будем считать режим четырехполюсника синусоидальным.

а) б)

Рис. 1.2

Первые четыре формы записи соответствуют направлениям токов, показанных на рис. 1.2 а.

1.Форма [ Z ]

(1)

или в матричной форме

, (2)

где Z -матрица – квадратная:

. (3)

Все коэффициенты имеют размерность сопротивлений. Если рассматривать токи I ₁ и I ₂ как контурные (рис. 1.2 а), то Z - матрица совпадает с матрицей контурных сопротивлений и . Таким образом, линейный четырехполюсник имеет только три независимых параметра. Для симметричного четырехполюсника выполняется условие , то есть, независимых параметров в этом случае только два.

2. Форма [ Y ]

Все шесть форм записи четырехполюсника эквивалентны. Получим Y – параметры, решив систему (3) относительно токов

, (4)

. (5)

Обозначим

; ;

; ;

Все коэффициенты имеют размерность проводимости. Перепишем (4), (5) с учетом введенных обозначений:

. (6)

Или в матричной форме:

, (7)

где - квадратная матрица.

Так как _, то _, и в симметричном четырехполюснике _.

Следующие две формы [ H ] и [ G ] получили название гибридной формы записи уравнений четырехполюсника.

3.Форма [ H ]:

. (8)

Или в матричной форме:

,

где

. (9)

Размерность H -коэффициентов разная. Пусть (режим короткого замыкания на выходных зажимах).

Тогда - входное сопротивление четырехполюсника со стороны первичных зажимов в режиме короткого замыкания вторичной обмотки.

- безразмерный коэффициент.

Теперь рассмотрим режим холостого хода на первичных зажимах . Тогда - безразмерный коэффициент.

Коэффициент имеет размерность проводимости, Ом^-1.

Для линейного четырехполюсника выполняется условие:

,

4. Форма [ G ]:

. (10)

Или в матричной форме ,

где

Коэффициент – безразмерные;

Коэффициент имеет размерность проводимости;

– размерность сопротивления.

Следующие две формы [ A ] и [ B ] записываются для нагруженного четырехполюсника.

5.Форма [ A ]:

Источник питания подключен к первичным зажимам четырехполюсника, нагрузка – к вторичным. При записи уравнений в форме [ A ] направления токов и напряжений выбираются согласно рис. 1.3 а.

а) прямое включение б) обратное включение

Рис. 1.3

Такой выбор обусловлен тем, что передача энергии происходит от входных зажимов к выходным, причем четырехполюсник, включенный между источником и приемником, может состоять из нескольких четырехполюсников, соединенных каскадно.

Получим уравнения формы [ A ] из формы [ Y ]. Для этого в уравнениях (6) перед током поставим знак минус:

. (11)

Из второго уравнения системы следует:

. (12)

Подстановка (12) в первое уравнение системы (11) дает:

. (13)

Обозначим ; ;

; .

Получим систему уравнений

. (14)

Или в матричной форме:

.

Коэффициенты А, В, С, D в общем случае комплексные и зависят от частоты. Размерность коэффициентов:

; - безразмерные;

- передаточное сопротивление при закороченных вторичных зажимах;

-передаточная проводимость при разомкнутых вторичных зажимах.

Определитель, составленный из А -коэффициентов, равен

, и для обратимого четырехполюсника , и тогда

. (15)

Если четырехполюсник симметричный, то , и A = D, то есть число независимых коэффициентов равно двум.

6. При записи уравнений в форме [ B ] полагают, что источник питания подключен к выходным зажимам, нагрузка - к входным. Передача энергии, соответственно, противоположна прямому включению (рис. 1-3 б).

Получим уравнения в форме [ B ] из уравнений (14). Поскольку при обратном включении токи имеют противоположное направление, поставим перед током и знак “минус”

,

и решим полученную систему относительно и :

.

С учетом (15) получим

. (16)

Сравнивая уравнение (14) при прямом включении и уравнение (16) при обратном, делаем вывод, что коэффициенты A и D меняются местами.

Связь коэффициентов разных форм записи уравнений четырехполюсников приведены в таблице 1.

2. Определение входных сопротивлений нагруженного четырехполюсника