Классические методы оптимизации

Классические методы оптимизации – это методы классической теории дифференциального исчисления функции многих переменных, основанные на понятиях локального, глобального и условного экстремумов.

Функция F (X) = F () имеет локальный максимум (или минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (или меньше), чем её значение в любой другой точке Х некоторой окрестности точки , т.е. (или ).

Максимум или минимум функции называется её экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимое условие экстремума. Если в точке функция F (X) имеет экстремум, то частные производные функции в этой точке равны нулю:

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками.

Дифференциал 2-го порядка функции F (X) = F () равен

сумме произведений частных производных 2-го порядка на соответствующие приращения аргументов:

.

Достаточные условия экстремума:

· в стационарной точке функция F (X) имеет максимум, если < 0, и минимум, если > 0 при любых и , не обращающихся в нуль одновременно;

· если принимает в зависимости от и как положительные, так и отрицательные значения, то в точке экстремума нет;

· если = 0 не только при нулевых приращениях и , то вопрос об экстремуме остаётся открытым.

Для функции 2-х переменных F (X) = F () достаточные условия формулируются следующим образом.

Пусть - стационарная точка функции F (). Обозначим частные производные 2-го порядка:

, , , ,

из которых составим определитель:

.

Тогда:

· если Δ > 0, то функция в точке имеет максимум при < 0 (или < 0) и минимум при > 0 (или > 0);

· если Δ < 0, то в точке экстремума нет;

· если Δ = 0, то требуются дополнительные исследования.

Пример. Исследовать на экстремум функцию

F () = .

Решение. Найдём частные производные: , , приравняем их к нулю:

Решив систему линейных уравнений, получим , т.е. (0, 0) – стационарная точка.

Найдём частные производные 2-го порядка: , = , , из которых составим определитель:

.

Так как Δ > 0 и < 0, то функция F () = имеет максимум в точке (0, 0).

Замечание. Функция вида F () = называется производственной функцией Аллена и служит для описания производственных процессов, в которых чрезмерный рост любого из факторов оказывает отрицательное воздействие на объём выпуска. Такая функция обычно используется для описания мелкомасштабных систем с ограниченными возможностями переработки ресурсов.

Функция F (X) = F () имеет глобальный максимум (наибольшее значение) в точке заданной области D, если значение функции в этой точке больше, чем её значение в любой другой точке Х области D, т.е. .

Функция F (X) = F () имеет глобальный минимум (наименьшее значение) в точке заданной области D, если значение функции в этой точке меньше, чем её значение в любой другой точке Х области D, т.е. .

Теорема Вейерштрасса. Дифференцируемая функция F (X) в замкнутой и ограниченной области достигает своих наибольшего и наименьшего значения или в стационарной точке, или на границе области.

Поиск по сайту: