Приклад розв’язання задач

Приклад 1. Знайти масу фотона: а) червоних променів світла (l = 700 нм); б) рентгенівських променів (l = 25 пм);
в) гамма-променів (l = 1,24 пм).

Розв’язання. Енергію фотона знайдемо з рівняння

, (1)

де h = 6,62×10^–34 Дж×с – стала Планка, – частота коливань,
с = 3×10⁸ м/с – швидкість світла.

Тоді рівняння (1) можна записати у вигляді:

. (2)

З іншого боку, згідно рівняння Ейнштейна,

. (3)

У рівнянні (2) і (3) ліві частини рівні. Прирівнявши праві частини рівнянь, отримаємо:

,

звідки отримаємо розрахункову формулу

.

Тоді

.

Підставимо числові значення в отриману формулу для відповідних променів:

а) кг;

б) кг;

в) кг.

Приклад 2. Визначити максимальну швидкість фотоелектронів, які вириваються з поверхні срібла: 1) ультрафіолетовим випромінюванням довжиною хвилі l = 0,155мкм; 2) – випромінюванням з довжиною хвилі l = 2,47пм.

Розв’язання. Максимальну швидкість фотоелектронів визначимо з рівняння Ейнштейна для фотоефекту:

. (1)

Енергія фотона обчислюється за формулою , робота виходу А – це таблична величина (для срібла А = 4,7 еВ).

Кінетична енергія фотоелектрона залежно від того, яка його швидкість, може бути виражена або за класичною формулою:

, (2)

або за релятивістською:

. (3)

Швидкість фотоелектрона залежить від енергії фотона, що викликає фотоефект: якщо енергія фотона ε набагато менша від енергії спокою електрона , то може бути застосована формула (2); якщо ж ε рівна за величиною з , то обчислення за формулою (2) приводить до грубої помилки, у цьому випадку кінетичну енергію фотоелектрона необхідно виражати за формулою (3).

1. У формулу енергії фотона підставимо значення величин h, с й λі, виконавши обчислення для ультрафіолетового випромінювання, одержимо:

.

Це значення енергії фотона набагато менше від енергії спокою електрона (0,51 МеВ). Отже, для даного випадку максимальна кінетична енергія фотоелектрона у формулі (1) може бути виражена за класичною формулою (2) , звідки

. (4)

Випишемо величини, що входять у формулу (4):

(обчислено вище);

;

.

Підставивши числові значення у формулу (4), знайдемо максимальну швидкість:

.

2. Обчислимо тепер енергію фотона γ-випромінювання:

.

Робота виходу електрона (А = 4,7 еВ) мала порівняно з енергією γ-фотона, тому можна вважати, що максимальна кінетична енергія електрона дорівнює енергії фотона:

.

Оскільки в цьому випадку кінетична енергія електрона порівнянна з його енергією спокою, то для обчислення швидкості електрона варто взяти релятивістську формулу кінетичної енергії:

, де .

Виконавши перетворення, знайдемо

.

Зробивши обчислення, одержимо

.

Отже, максимальна швидкість фотоелектронів, що вириваються γ-випромінюванням:

.

Приклад 3. На поверхню літію падає монохроматичне світло ( = 310 нм). Щоб припинити емісію електронів, потрібно прикласти затримуючу різницю потенціалів U не менше 1,7 В. Визначити роботу виходу А.

Розв’язання. Роботу виходу фотоелектронів визначимо з рівняння Ейнштейна для фотоефекту:

,

де – стала Планка, – частота фотона, – маса електрона, – швидкість електрона, – робота виходу.

Для припинення емісії електронів уся їх кінетична енергія повинна витрачатися на роботу проти сил електричного поля:

,

де – затримуюча різниця потенціалів, – заряд електрона.

Тоді рівняння фотоефекту має вигляд:

.

Звідси робота виходу дорівнює:

. (1)

Так як за умовою задачі відома довжина хвилі, необхідно використати взаємозв’язок частоти та довжини хвилі, що має вигляд:

.

Підставимо вираз для частоти у рівняння (1). Отримаємо:

.

Підставимо числові значення для відповідних величин:

;

.

Приклад 4. Пучок монохроматичного світла з довжиною хвилі l = 663нм падає нормально на дзеркальну поверхню. Потік енергії Ф = 0,6 Вт. Визначити силу F тиску, яка тисне на цю поверхню, а також кількість фотонів, які падають на неї за час t = 5c.

Розв’язання. Сила світлового тиску на поверхню дорівнює добутку світлового тиску р на площу S поверхні:

. (1)

Світловий тиск може бути знайдений за формулою:

. (2)

Підставляючи вираз (2) тиску світла у рівняння (1), отримаємо:

. (3)

Оскільки добуток І на площу S поверхні дорівнює потоку Ф енергії випромінювання, яке падає на поверхню, співвідношення (3) можна переписати у вигляді:

;

.

Підставивши значення Ф та с із врахуванням, що ρ = 1 (поверхня дзеркальна), отримаємо:

F = 4 нН.

Кількість фотонів, які падають за час Δt на поверхню, визначається за формулою:

, (4)

де – енергія випромінювання, яка випромінюється поверхнею за час .

Енергію фотона можна знайти з рівняння:

.

Підставимо вираз для енергії у вираз (4) і отримаємо:

;

.

Підставивши відповідні значення величин, матимемо:

фотонів.

Приклад 5. Внаслідок ефекту Комптона фотон при зіткненні з електроном був розсіяний на кут . Енергія розсіяного фотона дорівнює 0,4 МеВ. Визначити енергію фотона до розсіювання.

Розв’язання. Для визначення енергії фотона до розсіювання скористаємося формулою Комптона у вигляді:

. (1)

Формулу (1) перетворимо наступним чином: 1) виразимо довжини хвиль через енергії та відповідних фотонів, скориставшись співвідношенням ; 2) помножимо чисельник та знаменник правої частини формули на с. Тоді отримаємо:

.

Скоротимо на hc обидві частини рівняння та виразимо з цієї формули шукану енергію:

,

.

Підставивши відповідні дані, отримаємо:

.

Приклад 6. Фотон з енергією розсіявся на вільному електроні. Енергія розсіяного фотона . Визначити: а) кінетичну енергію електрона віддачі; б) кут розсіювання.

Розв’язання. Кінетична енергія електрона віддачі дорівнює різниці його повної енергії () та енергії спокою () електрона:

.

Запишемо закон збереження енергії під час ефекту Комптона:

;

;

.

Зміну довжини хвилі розсіяного фотона знаходимо за формулою:

.

Виразимо довжини хвиль через енергії та відповідних фотонів, скориставшись співвідношенням , помножимо ліву і праву частини рівняння на 1/с і, використавши перетворення, дістанемо рівняння у наступному вигляді:

.

Використавши тригонометричні перетворення, отримаємо:

.

Виконаємо обчислення:

;

, .

Поиск по сайту: