Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби. Интегрирование рациональньных дробей

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби

Теорема: Если - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)^a…(x - b)^b(x² + px + q)^l…(x² + rx + s)^m ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

41. Интегрирование тригонометрических функций. Сведение интегралов т тригонометрических функций к интегралам от рациональных функций. Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида .

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

,

Тогда

Таким образом:

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример. Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Интеграл вида если

функция R является нечетной относительно cosx.

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

Функция может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

Интеграл вида если

функция R является нечетной относительно sinx.

По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда

Интеграл вида

функция R четная относительно sinx и cosx.

Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка

t = tgx.

Тогда

Интеграл произведения синусов и косинусов

различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.

Пример. Итого

Поиск по сайту: