АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Разделимые схемы

Читайте также:
  1. Аксонометрические схемы систем водоснабжения
  2. Анализ классической схемы равновесия.
  3. БАЗОВЫЕ СХЕМЫ ВВЕДЕНИЯ ПРИКОРМОВ
  4. Базовые схемы логических элементов .
  5. Биполярные транзисторы. Устройство и принцип действия. Схемы включения транзистора .
  6. Блок схемы для каждого метода решения
  7. Блок схемы программы
  8. В отдельных случаях заводская конфигурация тепловой схемы и системы регенерации, в частности, может быть изменена руководителем КП.
  9. Виды объемных блоков и конструктивные схемы зданий из них
  10. Выбор конструктивной схемы и материалов каркасов
  11. Выбор принципиальной схемы щитового комплекса
  12. Выбор системы и схемы водоснабжения

Рассмотрим схему алфавитного кодирования и различные слова, составленные из элементарных кодов. Схема называется разделимой, если

,

То есть любое слово, составленное из элементарных кодов, единственным образом разлагается на элементарные коды. Алфавитное кодирование с разделимой схемой допускает декодирование.

Если таблица кодов содержит одинаковые элементарные коды, то есть если

где , то схема заведомо не является разделимой. Такие схемы далее не рассматриваются, то есть

Префиксные схемы

Схема называется префиксной, если элементарный код одной буквы не является префиксом элементарного кода другой буквы:

ТЕОРЕМА Префиксная схема является разделимой.

Доказательство

От противного. Пусть кодирование со схемой не является разделимым. Тогда существует такое слово , что

Поскольку , значит, , но это противоречит тому, что схема префиксная.

 

ЗАМЕЧАНИЕ

Свойство быть префиксной является достаточным, но не является необходимым для разделимости схемы.

 

Пример

Разделимая, но не префиксная схема: .

 

Неравенства Макмиллана

Чтобы схема алфавитного кодирования была разделимой, необходимо, чтобы длины элементарных кодов удовлетворяли определенному соотношению, известному как неравенство Макмиллана.

 

ТЕОРЕМА Если схема разделима, то

, где

Доказательство

Обозначим . Рассмотрим n-ю степень левой части неравенства

.

Раскрывая скобки, имеем сумму

где i1...in – различные наборы номеров элементарных кодов. Обозначим через количество входящих в эту сумму слагаемых вида 1/2t, где t=li1+…+lin. Для некоторых t может быть, что =0. Приводя подобные, имеем сумму

.

Каждому слагаемому вида ()-1можно однозначно сопоставить код (слово в алфавите B) вида . Это слово состоит из n элементарных кодов и имеет длину t.

Таким образом, - это число некоторых слов вида , таких, что . В силу разделимости схемы , в противном случае заведомо существовали бы два одинаковых слова , допускающих различное разложение. Имеем

Следовательно, , и значит , откуда

Неравенство Макмиллана является не только необходимым, но и в некотором смысле достаточным условием разделимости схемы алфавитного кодирования.

ТЕОРЕМА Если числа l1…ln удовлетворяет неравенству

то существует разделимая схема алфавитного кодирования , где

Доказательство

Без ограничений общности можно считать, что . Разобьем множество {l1,…,ln} на классы эквивалентности по равенству {L1,…,Lm}, m n.

Пусть

Тогда неравенство Макмиллана можно записать так:

Из этого неравенства следуют m неравенств для частичных сумм:

 

(1)
(2)
……….  
(m)

 

Рассмотрим слова длины в алфавите В. Поскольку , из этих слов можно выбрать различных слов длины . Исключим из дальнейшего рассмотрения все слова из В*, начинающиеся со слов . Далее рассмотрим множество слов в алфавите В длиной и не начинающихся со слов . Таких слов будет . Но , значит, можно выбрать различных слов. Обозначим их . Исключим слова, начинающиеся с , из дальнейшего рассмотрения. И та далее, используя неравенства для частичных сумм, мы будем на i-м шаге выбирать слов длины , , причем эти слова не будут начинаться с тех слов, которые были выбраны раньше. В то же время длины этих слов все время растут (так как ), поэтому они не могут быть префиксами тех слов, которые выбраны раньше. Итак, в конце имеем набор из n слов , коды не являются префиксами друг друга, а значит, схема будет префиксной и, по теореме предыдущего подраздела, разделимой.

Пример

Азбука Морзе – это схема алфавитного кодирования

<A 01,B 1000,C 1010,D 100,E 0,F 0010,G 110,

H 0000,I 00,J 0111,K 101,L 0100,M 11,N 10,

O 1111,P 0110,Q 1101,R 010,S 000,T 1,U 001,

V 0001,W 011,X 1001,Y 1011,Z 1100>,

где по историческим и техническим причинам 0 называется точкой и обозначается знаком «.», а 1 называется тире и обозначается знаком «-». Имеем:

¼+1/16+1/16+1/8+½+1/16+1/8+1/16+¼+1/16+

1/8+1/16+1/4+1/4+1/8+1/16+1/16+1/8+1/8+

½+1/8+1/16+1/8+1/16+1/16+1/16 =

= 2/2 + 4/4 + 7/8 + 12/16 = 3+5/8 > 1.

Таким образом, неравенство Макмиллана для азбуки Морзе не выполнено, и эта схема не является разделимой. На самом деле в азбуке Морзе имеются дополнительные элементы – паузы между буквами (и словами), которые позволяют декодировать сообщения. Эти дополнительные элементы определены неформально, поэтому прием и передача сообщений с помощью азбуки Морзе, особенно с высокой скоростью, является некоторым искусством, а не простой технической процедурой.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)