|
|||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Разделимые схемыРассмотрим схему алфавитного кодирования и различные слова, составленные из элементарных кодов. Схема называется разделимой, если , То есть любое слово, составленное из элементарных кодов, единственным образом разлагается на элементарные коды. Алфавитное кодирование с разделимой схемой допускает декодирование. Если таблица кодов содержит одинаковые элементарные коды, то есть если где , то схема заведомо не является разделимой. Такие схемы далее не рассматриваются, то есть Префиксные схемы Схема называется префиксной, если элементарный код одной буквы не является префиксом элементарного кода другой буквы: ТЕОРЕМА Префиксная схема является разделимой. Доказательство От противного. Пусть кодирование со схемой не является разделимым. Тогда существует такое слово , что Поскольку , значит, , но это противоречит тому, что схема префиксная.
ЗАМЕЧАНИЕ Свойство быть префиксной является достаточным, но не является необходимым для разделимости схемы.
Пример Разделимая, но не префиксная схема: .
Неравенства Макмиллана Чтобы схема алфавитного кодирования была разделимой, необходимо, чтобы длины элементарных кодов удовлетворяли определенному соотношению, известному как неравенство Макмиллана.
ТЕОРЕМА Если схема разделима, то , где Доказательство Обозначим . Рассмотрим n-ю степень левой части неравенства . Раскрывая скобки, имеем сумму где i1...in – различные наборы номеров элементарных кодов. Обозначим через количество входящих в эту сумму слагаемых вида 1/2t, где t=li1+…+lin. Для некоторых t может быть, что =0. Приводя подобные, имеем сумму . Каждому слагаемому вида ()-1можно однозначно сопоставить код (слово в алфавите B) вида . Это слово состоит из n элементарных кодов и имеет длину t. Таким образом, - это число некоторых слов вида , таких, что . В силу разделимости схемы , в противном случае заведомо существовали бы два одинаковых слова , допускающих различное разложение. Имеем Следовательно, , и значит , откуда Неравенство Макмиллана является не только необходимым, но и в некотором смысле достаточным условием разделимости схемы алфавитного кодирования. ТЕОРЕМА Если числа l1…ln удовлетворяет неравенству
то существует разделимая схема алфавитного кодирования , где Доказательство Без ограничений общности можно считать, что . Разобьем множество {l1,…,ln} на классы эквивалентности по равенству {L1,…,Lm}, m n. Пусть Тогда неравенство Макмиллана можно записать так: Из этого неравенства следуют m неравенств для частичных сумм:
Рассмотрим слова длины в алфавите В. Поскольку , из этих слов можно выбрать различных слов длины . Исключим из дальнейшего рассмотрения все слова из В*, начинающиеся со слов . Далее рассмотрим множество слов в алфавите В длиной и не начинающихся со слов . Таких слов будет . Но , значит, можно выбрать различных слов. Обозначим их . Исключим слова, начинающиеся с , из дальнейшего рассмотрения. И та далее, используя неравенства для частичных сумм, мы будем на i-м шаге выбирать слов длины , , причем эти слова не будут начинаться с тех слов, которые были выбраны раньше. В то же время длины этих слов все время растут (так как ), поэтому они не могут быть префиксами тех слов, которые выбраны раньше. Итак, в конце имеем набор из n слов , коды не являются префиксами друг друга, а значит, схема будет префиксной и, по теореме предыдущего подраздела, разделимой. Пример Азбука Морзе – это схема алфавитного кодирования <A 01,B 1000,C 1010,D 100,E 0,F 0010,G 110, H 0000,I 00,J 0111,K 101,L 0100,M 11,N 10, O 1111,P 0110,Q 1101,R 010,S 000,T 1,U 001, V 0001,W 011,X 1001,Y 1011,Z 1100>, где по историческим и техническим причинам 0 называется точкой и обозначается знаком «.», а 1 называется тире и обозначается знаком «-». Имеем: ¼+1/16+1/16+1/8+½+1/16+1/8+1/16+¼+1/16+ 1/8+1/16+1/4+1/4+1/8+1/16+1/16+1/8+1/8+ ½+1/8+1/16+1/8+1/16+1/16+1/16 = = 2/2 + 4/4 + 7/8 + 12/16 = 3+5/8 > 1. Таким образом, неравенство Макмиллана для азбуки Морзе не выполнено, и эта схема не является разделимой. На самом деле в азбуке Морзе имеются дополнительные элементы – паузы между буквами (и словами), которые позволяют декодировать сообщения. Эти дополнительные элементы определены неформально, поэтому прием и передача сообщений с помощью азбуки Морзе, особенно с высокой скоростью, является некоторым искусством, а не простой технической процедурой.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |