Обобщенная модель нелинейная по переменным

Y=a₀+a₁f₁(X)+a₂f₂(X)+…+a_kf_k+u (1)

Линеаризация обобщенной нелинейной модели

1. Вводятся новые переменные:z1=f1(X), Z2=f2(X)…zk=fk(X)

2. Подставляя новые переменные в модель (Y=a₀+a₁f₁(X)+a₂f₂(X)+…+a_kf_k), получим модель линейную по переменным z:

Y=a₀+a₁z₁(X)+a₂z₂(X)+…+a_kz_k(X)+u 2

3. После оценки параметров модели делается обратный переход к модели (1.1)

Примеры.

1. Полиномиальные модели: Y=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³…+a_kx^k+u

Новые переменные: z₁=x, z₂=x², z₃=x³,…z_k=x^k

После перехода к новым переменным получается линейная модель множественной регрессии:

Y=a₀+a₁z₁+a₂z₂+…+a_kz_k+u

Оценка и анализ проводится уже известными методами

1. Полиномиальные модели:

Параболические модели широко применяются

- при моделировании средних и предельных издержек в зависимости от объема выпуска продукции

- при моделировании зависимости прибыли предприятия от расходов на рекламу

Кубические модели

– при моделировании общих издержек в зависимости от объема выпуска продукции

2. Модели гиперболического типа Y=a₀+a₁*1/X+u

Новая переменная:z=1/X

В результате подстановки получим уравнение парной регрессии в виде: Y=a₀+a₁*z+u

Модели гиперболического вида нашли применение при моделировании:

- зависимости спроса от цен

- зависимости спроса от дохода (кривые Энгеля)

- спрос на предметы роскоши от дохода (функции Торнквиста)

- уровня относительного изменения заработной платы в зависимости от относительного изменения уровня безработицы (кривая Филлипса)

Степенные модели.

Степенная модель нелинейна по параметрам Y=a0X₁^a1X₂^a2(1+u)(1)

1. Метод линеаризации – логарифмирование с последующим введением новых переменных:

Log(Y)=log(a0)+a1log)x1)+a2log(x2)+log(1+u)(2)

2. Вводятся новые переменные и параметры: Y^*=log(Y), z1=log(x1), z2=log(x2), ɛ=log(1+u), b0=log(a0), b1=a1, b2=a2.

В новых переменных исходное уравнение принимает вид уравнения множественной регрессии:

Y^*=b0+b1z1+b2z2+ɛ

3. Оцениваются параметры b₀, b₁, b₂ – методом наименьших квадратов и проверяются гипотезы о выполнении предпосылок теоремы Гаусса-Маркова для модели (2.3)

4. Осуществляется возврат к исходной модели (2.1): a0=e^b0, a1=b1, a2=b2

В частном случае, когда в модели присутствует одна экзогенная переменная модель называют двойной логарифмической

Экономическая интерпретация параметров двойной логарифмической модели

Двойная логарифмическая модель: Y=a0X^a1 (4)

Дифференцируем (2.4) по х

Откуда получаем, что:

Параметр а₁ имеет смысл эластичности переменной Y по переменной x

Поиск по сайту: