Понятие о напряжениях и деформациях

Рассмотрим на простейшем виде деформации – разбежные – элементарные внутренние усилия и перемещения, возникающие при действии на брус продольной силы F (рисунок 4.1).

Разрезаем мысленно брус сечением на две части, действие одной части на другую заменяем усилием N (продольная сила). Эта продольная сила определяется из уравнения статики

(4.1)

Рисунок 4.1 – К расчету бруса при растяжении

Продольная сила является равнодействующей элементарных сил, определяющих взаимодействие между частицами тела. При растяжении естественно предположить, что элементарные силы равномерно распределяются по площади сечения и называются напряжением.

Напряжения – мера интенсивности внутренних сил. При растяжении возникают нормальные напряжения (перпендикулярно к сечению) σ, которые определяются по формуле

, Па, (4.1)

где N – продольная сила, Н;

S – площадь поперечного сечения, м².

Обычно принимают следующее правило знаков:

- если нормальное напряжение (сила) направлено от сечения, оно вызывает растяжение и считается положительным;

- если нормальное напряжение (сила) направлена к сечению, то оно вызывает сжатие и считается отрицательным.

Между этими видами деформаций сохраняется единство при анализе внутренних сил, но и обнаруживаются качественные отличия, например, при изучении процессов разрушения материалов или при исследовании поведения длинных и тонких стержней, для которых сжатие сопровождается изгибом.

Условие прочности: напряжение, возникающее в опасной точке конструкции, среды, должны быть меньше или, по крайней мере, равны допускаемым напряжениям

(4.2)

Допускаемые напряжения определяют по зависимости

, (4.3)

где σ_пред – предельное напряжение, определяемое в результате испытаний образцов при различных условиях нарушения;

n – коэффициент запаса прочности, n > 1.

Под действием приложенных сил брус изменяет свои размеры (рисунок 4.2). До деформации длина его была ℓ после деформации ℓ₁ = ℓ + ∆ℓ. Величина ∆ℓ называется абсолютным удлинением бруса.

Отношение

(4.4)

называют относительным удлинением бруса. Но правильное название – линейная деформация, иногда продольная деформация.

Рисунок 4.2 – Изменение размеров бруса

В поперечном направлении произошло уменьшение поперечного размера и поперечная деформация равна

Между поперечной и продольной деформацией существует зависимость. Отношение поперечной деформации к продольной носит название коэффициента Пуассона и является механической характеристикой материала и определяется экспериментальным путем.

(4.5)

В пределах малых удлинений для подавляющего большинства материалов, в том числе и для горных пород, справедлив закон Гука, который устанавливает пропорциональную зависимость между напряжениями и деформациями:

, (4.6)

где Е – модуль упругости первого рода или модуль упругости, МПа.

Эта величина является физической константой материала и определяется экспериментально.

Определим напряжения, возникающие в брусе при растяжении в некотором сечении, нормаль к которому расположена под углом α к оси бруса (рисунок 4.3, а).

Рисунок 4.3 – Напряжения в наклонных площадках

Напряжения р равномерно распределены по наклонному сечению и их можно определить из условия равновесия правой части бруса

,

где А – площадь поперечного сечения бруса;

А_α – площадь наклонного сечения бруса.

Таким образом, напряжение в наклонном сечении

.

Обычно это напряжение раскладывали на два направления: по нормали к сечению, нормальное напряжение σ_α и вдоль площадки – касательное напряжение τ_α (рисунок 4.3, в) и они равны

, (4.7)

Как видно из уравнений, в зависимости от организации сечения получаем разные по величине и направлению нормальные и касательные напряжения.

В сечениях при α = 0, σ_α = σ, τ_α; в сечениях α = 90⁰, σ_α = 0, τ_α = 0; в сечениях при α = 45⁰, возникают наибольшие касательные напряжения .

Как видно на примере растяжения бруса, напряжения в площадке (сечении) зависят от ее ориентации. Через данную точку в конструкции, в массиве горных пород, можно провести бесчисленное множество сечений, в которых действуют различные по величине и по направлению нормальные и касательные напряжения, которые отражают взаимодействие бесконечного множества частиц на данную точку.

Напряжения, действующие по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам определяют напряженное состояние в точке. Условно напряженное состояние в точке представляют следующим образом: вокруг точки вырезаем элемент бесконечно малого размера в форме параллелепипеда (рисунок 4.4, а).

При уменьшении сторон, в пределе (d_x, d_y, d_z → 0) этот параллелепипед стягивается в точку, через которую проходят три взаимно перпендикулярные площадки. По граням элемента могут действовать напряжения Р_х, Р_у, Р_z (рисунок 4.4, а).

Раскладываем эти напряжения на составляющие, проецируют их на оси х, у, z, получаем нормальные напряжения σ_х, σ_у, σ_z и касательные напряжения τ_ху, τ_ух, τ_уz, τ_zy, τ_zx, τ_xz.

Индекс нормального напряжения соответствует нормали к площадке, на которой они действуют. Касательные напряжения имеют два индекса: первый – направление оси, параллельной напряжению, второй – направлению оси, перпендикулярной к площадке. Таким образом, на гранях элементарного параллелепипеда действуют девять компонент

напряжений, которые представляют собой тензор напряжений, записываемый в виде

, (4.8)

где в строках расположены составляющие напряжений соответственно на площадках, перпендикулярных осям х, у, z.

Рисунок 4.4 – Напряженное состояние в точке

Система сил, приложенных к элементу, должна удовлетворять условиям равновесия. Поскольку на противоположных гранях возникают противоположные по направлению силы, то первые три условия равновесия – для пространственной системы сил. Из условия равновесия суммы моментов относительно оси х, получаем

,

аналогично можно записывать остальные уравнения.

Тогда получаем

; ; (4.9)

Таким образом, на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны и направлены обе либо к ребру, либо от ребра. Это есть закон парности касательных напряжений. Следовательно, на гранях выделенного элемента имеем не девять, а шесть независимых компонент напряжений, поскольку касательные напряжения попарно равны. Тензор напряжений (4.8) является симметричным.

Анализ напряженного состояния в точке начинается всегда с определения напряжений на гранях выделенного в окружности точки элемента. Через точку проводится три взаимно перпендикулярные плоскости, ориентация которых может быть произвольной и часто определяется более простым расчетом компонент напряжений.

Например, напряжение в толще горной породы определяем следующим образом. Выбираем некоторую точку, положение которой определяем с помощью прямоугольной системы координат, началом которой считают точку на границе действия внешних сил и горной породы. Ось z направлена вниз, ось у – слева направо, ось х – перпендикулярно к оси у (рисунок 4.5, а).

Рисунок 4.5 – Напряженное состояние в точке б толще горной породы

Для оценки сжимаемости горной породы под действием внешней нагрузки обычно рассматривают горизонтальные и вертикальные площадки. В таком случае решение задачи о сжатии горной породы в некоторой точке сводится к решению о сжатии заменяющего эту точку элементарного параллелепипеда, стороны которого параллельны оси координат, что допустимо в силу его малости.

Напряжения в породах могут создаваться не только действием внешних нагрузок, но и другими физическими полями. Например, термические напряжения вызываются неоднородным нагревом пород.

При изменении ориентации граней выделенного элемента или, иначе, при проведении различных площадок через данную точку изменяются напряжения, действующие по этим граням. Среди бесчисленного множества площадок, проходящих через данную точку, имеется три взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения на этих площадках – главными напряжениями. Главные напряжения обозначаются σ₁, σ₂, σ₃ в порядке убывания в алгебраическом смысле, т.е. σ₁ > σ₂ > σ_4.

Если по всем трем граням параллелепипеда действует три напряжения, то напряженное состояние называется объемным или трехосным (рисунок 4.6, а).

Если на гранях элемента действуют два напряжения σ₁, σ₂, то напряженное состояние называется плоским или двухосным (рис. 4.6, б). Если на гранях элемента действуют напряжения σ₁, то напряженное состояние называется линейным или одноосным (рис. 4.6, в).

Рисунок 4.6 – Виды напряженных состояний

В дальнейшем при исследовании напряженного состояния в точке необходимо определять главные напряжения, потому что расчеты на прочность построены на основании главных напряжений.

Рассмотрим напряжения, возникающие в наклонных площадках при плоском напряженном состоянии. По граням элемента действуют главные напряжения σ₁ и σ₂. Определяем напряжения на площадке, нормаль к которой составляет угол α с горизонтальной осью (рисунок 4.7).

На рисунке 4.7 представлена проекция параллелепипеда. Применяем принцип независимости действия сил (принцип суперпозиций) и на основании формул (4.7) определяем нормальные и касательные напряжения.

,

,

Рисунок 4.7 – Плоское напряженное состояние

окончательно получаем

(4.10)

.

После преобразований можно записать

, (4.10, а)

.

Эти зависимости представляют уравнение окружности в параметрической форме в системе координат σ и τ. Таким образом, напряженное состояние в точке можно представить графически в виде окружности, координаты точек которой определяют напряжения на соответствующей площадке, а угол α определяет ориентацию площадки. Центр окружности находится на расстоянии от начала координат по оси σ. Радиус окружности равен .

Эта окружность носит название круг Мора или круговой диаграммой напряженного состояния. Каждая площадка имеет координаты σ, τ. Точки, соответствующие двум взаимно перпендикулярным площадкам, на круге напряжений расположены диаметрально противоположно. Следовательно, зная напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках можно построить окружность. Координаты вертикальной площадки (σ₁; 0), горизонтальной (σ₂; 0).

В системе координат σ₁, τ точка В соответствует вертикальной площадке, точка С – горизонтальной площадке (рисунок 4.8).

Рисунок 4.8 – Круговая диаграмма напряженного состояния

Точка А соответствует площадке, нормаль к которой расположена под углом α к горизонтали. Для определения направления напряжений σ_α и τ_α находим на круге напряжений полюс круга, точку, где пересекаются все нормали к площадкам. Находим полюс следующим образом, в точке В нормаль к площадке – горизонтальная линия, в точке С нормаль к площадке – вертикальная линия, они пересекаются в точке С, эта точка и является полюсом. Соединив точки А и С прямой, получим направление напряжения σ_α и соответственно τ_α (рис. 4.8).

Если заданы площадки общего положения, по которым действуют нормальные и касательные напряжения, определяемые при том или ином методе расчета, то координаты точек, соответствующих вертикальным и горизонтальным площадкам соответственно (σ_х, τ_ух), горизонтальной (σ_у, τ_ух) (рисунок4.9, а). Для построения круга напряжений примем, что в данном случае σ_х > σ_у. Центр круга имеет координату , радиус круга равен

(4.11)

Рисунок 4.9 – Круговая диаграмма напряженного состояния

Главным площадкам соответствуют точки К и М, в этих площадках действуют наибольшие и наименьшие напряжения.

Наибольшие и наименьшие напряжения равны

,

.

После подстановки отрезков получаем

, (4.12)

затем обозначаем напряжения согласно принятой зависимости σ₁ > σ₂ > σ_4.

Направление главных напряжений определяется на основании зависимости

. (4.13)

Наибольшие касательные напряжения численно равны радиусу окружности напряжений

. (4.14)

При испытании образцов пород на прочность при растяжении, сжатии получаем линейное напряженное состояние. Круговые диаграммы напряженных состояний представлены на рисунке 4.10.

Рассмотрим построение диаграммы напряжений для объемного напряженного состояния.

Для площадок параллельных осям х, у, z строим круги Мора (рисунок 4.11).Каждой точке любой окружности соответствует определенная площадка. Однако, точки, расположенные на трех кругах не исчерпывают всего множества площадок, проходящих через заданную точку. Точки, соответствующие площадкам, не параллельным ни одной из главных осей, расположены внутри заштрихованного криволинейного треугольника АВС, образованного тремя совмещенными кругами Мора (рисунок 4.12).

Рисунок 4.10 – Круговая диаграмма напряженного состояния при растяжении (а) и при сжатии (б)

Наибольшие касательные напряжения равны радиусу наибольшего круга

. (4.15)

Рисунок 4.11 – Круговые диаграммы для объемного напряженного состояния

Рисунок 4.12 – Круговая диаграмма напряжений для объемного напряженного состояния

Рассмотрим еще одно напряженное состояние, которое может возникать в исследуемом теле, породном массиве, при испытании на срез. Если по граням элемента, вырезанного вокруг точки, действуют только касательные напряжения, то такое напряженное состояние называется чистым сдвигом (рисунок 4.13).

Рисунок 4.13 – Чистый сдвиг

При действии касательных напряжений элемент деформируется (рисунок 4.13, б), вертикальные грани поворачиваются на угол γ, этот угол еще называют угловой деформацией.

Закон Гука при сдвиге имеет вид

, (4.16)

где G - модуль сдвига,

. (4.17)

Главные направления расположены под углом α = 45⁰ и равны σ₁ = τ; σ₂ = 0; σ₃ = - τ.

Графическое представление этого напряженного состояния (координаты точек соответствующих площадок (0; - τ), (0; τ)) дано на рисунке 4.14. Полюс круга находится в точке В, направление главных напряжений определяется прямыми ВС и ВД.

При объемном напряженном состоянии между компонентами напряженного и деформированного состояния существует определенная зависимость. В пределах малых деформаций эта зависимость является линейной и носит название обобщенного закона Гука. Наиболее простую форму обобщенный закон Гука принимает для изотропного тела, в этом случае коэффициент пропорциональности между компонентами напряженного и деформированного состояний не зависят от ориентации осей в точке.

Рисунок 4.14 – Круговая диаграмма при чистом сдвиге

Чтобы получить аналитическое выражение обобщенного закона Гука, необходимо воспользоваться принципом независимости действия сил. Линейные деформации в направлении действие напряжений σ₁, σ₂, σ₃ определяются по формулам

,

, (4.18)

.

Для оценки опасности напряженного состояния необходимо определить потенциальную энергию деформации при объемном напряженном состоянии. Потенциальная энергия, накопленная в элементарном объеме, определяется суммой работ сил, распределенных по поверхности этого объема. Нормальная сила σ, dy, dz (рис. 4.6, а) на перемещении ε₁ dx совершает работу

.

Аналогичные выражения работ дают и остальные нормальные составляющие. Если потенциальную энергию отнести к единице объема с учетом выражений (4.13), то получим удельную потенциальную энергию деформации

(4.19)

Получим выражения для так называемой энергии изменения формы и энергии изменения объема. Эти выражения потребуются в дальнейшем при изучении вопросов, связанных с пластическими деформациями и предельными напряженными состояниями.

Деление внутренней потенциальной энергии на две указанные составляющие является условным и выполняется по следующему принципу.

Каждое из главных напряжений представляем в виде суммы двух величин (рисунок 4.15)

; ; , (4.20)

в результате чего напряженное состояние разделяется на два. Первое напряженное состояние представляет собой всестороннее растяжение

, (4.21)

а второе является дополнением к нему до заданного напряженного состояния.

Рисунок 4.15 – Представление напряженного состояния

При указанном условии система сил первого напряженного состояния (σ₀) не производит работы на перемещениях, вызванных силами второго состояния. Точно так же и силы второго напряженного состояния не производят работы на перемещениях первого.

И внутренняя энергия разбивается на две части, соответствующие двум напряженным состояниям

,

где U_об - потенциальная энергия изменения объема;

U_ф – потенциальная энергия изменения формы, или энергия формоизменения.

Подставляя значения напряжений в уравнение (4.14), получаем для первого напряженного состояния

, (4.22)

для второго напряженного состояния

(4.23)

Представленные выше зависимости широко используются в расчетной практике.

Поиск по сайту: