Действия над матрицами. Над матрицами можно производить следующие алгебраические действия:

Над матрицами можно производить следующие алгебраические действия:

· сложение (вычитание);

· умножение на число;

· умножение матрицы на матрицу;

· обращение квадратной матрицы.

Принято обозначать матрицы большими буквами латинского алфавита: A, B, C, …, X, Y; элементы матриц – малыми буквами латинского алфавита: a_ij, b_ij, c_ij,…, x_ij, y_ij; числа – малыми буквами греческого алфавита: α, β, …, χ.

Справедливо следующее утверждение:

Матрица A = [ a_ij ]_m´n равна матрице B = [ b_ij ]_m´n, если они одинакового размера и соответствующие элементы равны, т.е. a_{ij =} b_ij

Суммой матриц А+В называется

Матрица с элементами С_ij = a_ij + b_ij. Сложить можно матрицы только одинакового размера, при этом матрица – сумма имеет размер матриц А и В.

Например,

А =				, В =	-1		-3
А + В =

Сложение произведено поэлементно.

Вычитание произведено поэлементно.

При умножении матрицы A = [ a_ij ]_m´n на число α получается матрица αA = [ α a_ij ]_m´n.

Другими словами, при умножении матрицы А на число α каждый элемент матрицы А умножается на это число α.

Например,

Очевидно что, если квадратную матрицу А_n´n умножить на число α, то определитель этой матрицы увеличится в αⁿ раз.

Справедливы следующие свойства сложения и умножения матрицы на число:

1. Коммутативность

А + В = В + А

2. Ассоциативность

(А + В) + С = А + (В + С)

3. Среди матриц одинакового размера имеется такая матрица, что

А+В=0,

где 0 – нулевая матрица (состоящая из одних нулей). Тогда

А= - В,

Матрица (-В) является противоположной для матрицы А, все элементы

b_ij = - a_ij

4. Дистрибутивность сложения относительно умножения матрицы на число

(λ + μ)А = λА + μА, а также λ(А + В) = λА + λВ

Поиск по сайту: