 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Свойства умножения
1. Ассоциативность умножения
(АВ)С = А(ВС)
2. Умножение матриц не обладает коммутативностью:
АВ¹ВА, более того иногда АВ определено, а ВА нет.
3. Если АВ = 0, то А ¹ 0, В ¹ 0
Например,
| -2 | = | |||||||||
| -1 | -5 | |||||||||
| -3 | ||||||||||
4. Если АВ = АС, А ¹ 0, то в общем случае не следует, что В = С.
5. АЕn = EmA = А
При умножении матрицы Аm´n на единичную матрицу Е, как справа (Еn) так и слева (Еm), получается сама матрица А.
6. Дистрибутивность умножения относительно сложения
(А + В)С = АВ + ВС
Лекция 7.
Метод обращения матрицы при помощи союзной.
Матричные уравнения
Матрица А- квадратная называется невырожденной, если ΔА¹0.
Каждой квадратной невырожденной матрице А соответствует обратная матрица А-1 такая что, АА-1=А-1А=Е
Дана матрица
 А=
| а11 | а12 | … | а1n | - квадратная |
| а21 | а22 | … | а2n | ||
| ………………… | |||||
| аn1 | аn2 | … | аnn |
ΔА¹0, А- невырожденная матрица.
Союзной матрицей Ã для матрицы А называется квадратная матрица n-ного порядка, составленная из алгебраических дополнений Аij элементов аij матрицы А с последующим транспонированием
 Ã=
| Т | ||||||||
| А11 | А12 | … | А1n | = | А11 | А21 | : : : : | An1 | |
| А21 | А22 | … | А2n | А12 | А22 | An2 | |||
| ………………………. | … | … | … | ||||||
| An1 | An2 | … | Ann | А1n | А2n | Ann |
Умножим А на Ã (или Ã на А)
 |
| А Ã= | а11А11+а12А12+…+а1nA1n | а11А21+а12А22+…+а1nA2n | … | а11Аn1+а12Аn2+…+а1nAnn | = |
| а21А11+а22А12+…+а2nA1n | а21А21+а22А22+…+а2nA2n | … | а21Аn1+а22Аn2+…+а2nAnn | ||
| ……………………………………………………………………………………………. | |||||
| аn1А11+аn2А12+…+аnnA1n | аn1А21+аn2А22+…+аnnA2n | аn1Аn1+аn2Аn2+…+аnnAnn |
| = | D | … | =D | ... | =DЕ | |||||
| D | … | … | ||||||||
| ……………… | ……………….. | |||||||||
| … | D | … |
Все диагональные элементы АÃ – алгебраические суммы произведений элементов i-строки на алгебраическое дополнение элементов этой же строки – это определитель матрицы А. Остальные элементы равны 0 (по свойству 7).
Таким образом, получилось равенство:
А Ã=DЕ ½´1/D
Умножим правую и левую часть равенства на 1/D. Получим:
А´[(1/D Ã)]=Е
АА-1=Е, следовательно
А-1=(1/D)Ã, т.к. D¹0, то А-1 существует и равна союзной матрице, умноженной на α= 1/D.
Операция нахождения обратной матрицы называется обращением.
Обратить матрицу А и сделать проверку.
 |
| -8 | ||||
| А= | -9 | -1 | , вычислим ΔА= -237 | |
| -3 |
| -39 | -76 | -39 | -76 | ||||
| Составим Ã= | -18 | -29 | , А-1=(1/237) | -18 | -29 | ||
| -43 | -43 |
Проверка.
При проверке должно выполнятся равенство АА-1 = А-1А = Е
Проверим, например,
| -39 | -76 | -8 | ||||||
| АА-1=- (1/237) | -18 | -29 | -9 | -1 | = | |||
| -43 | -3 |
Поиск по сайту: