Определители II порядка

Определителем II порядка называется число Δ, соответствующее таблице элементов

и равное алгебраической сумме произведений элементов главной и побочной диагоналей, т. е.

Δ = a₁b₂ – a₂b₁

Например:

В таблице элементов, соответствующей определителю II порядка содержится 2 строки и 2 столбца.

Элементы a₁, b₁ – элементы 1-й строки,

a₂, b₂ – 2-й строки;

Элементы a₁, a₂ – 1-го столбца,

b₁, b₂ – 2-го столбца;

a₁, b₂ – элементы главной диагонали;

a₂, b₁ – элементы побочной диагонали.

	a1	b1	1 строка
	a2	b2	2 строка
Побочная диагональ	1 столбец	2 столбец	Главная диагональ

В алгебраическую сумму произведений элементов главной диагонали входит со знаком “ + ”, элементы побочной диагонали- со знаком “ - ”.

Задача о пересечении
2-х прямых на плоскости

Простая задача о пересечении 2-х прямых на плоскости приводит к необходимости и обоснованности введения понятия определителя II порядка.

Пусть даны 2 прямые на плоскости:

Уравнение a₁x + b₁y= c₁ – уравнение 1-й прямой

Уравнение a₂x + b₂y= c₂ – уравнение 2-й прямой

Решим систему уравнений:

a₁x + b₁y= c₁

a₂x + b₂y= c₂

Исключим неизвестное «y» из системы. Для этого правую и левую часть каждого уравнения умножим на «b₂» и «b₁» соответственно. Теперь, вычтем из 1-го уравнения 2-е уравнение. Получим:

(a₁b₂ – a₂b₁) x = c₁b₂ – c₂b₁

x =	c1b2 – c2b1	=	c1	b1
c2	b2
a1b2 – a2b1	a1	b1
a2	b2

Видно, что удобно для вычисления x записать числитель и знаменатель дроби через определитель II порядка.

Аналогично, для вычисления «y» исключим неизвестное «x». Для этого умножим правую и левую части каждого уравнения на «a₁» и «a₂» соответственно и вычтем из 2-го уравнения 1-е уравнение. Получим:

(a₁b₂ – a₂b₁) y = a₁c₂ – a₂c₁

y =	a1c2 – a2c1	=	a1	c1
a2	b2
a1b2 – a2b1	a1	b1
a2	b2

Видно, что знаменатель дроби для вычисления «y» такой же, как и знаменатель дроби для вычисления «x», и он равен определителю II порядка, элементы которого –коэффициенты при неизвестных «x» и «y» в 1-м и 2-м уравнениях. Назовем его условно главным определителем Δ.

Определители II порядка, стоящие в числителях дробей получены из главного, но определитель для вычисления «x» - путем замены 1 столбца на столбец с₁, с₂, а «y» - путем замены 2 столбца на столбец с₁, с₂. Назовем эти определители добавочными при x и при y: Δ _x и Δ _y

Таким образом, решение системы

Полученный результат, записанный через определители II порядка, облегчает и убыстряет решение данной задачи и систем линейных уравнений.

Поиск по сайту: