Определитель n-го порядка

На примере определителя III порядка рассмотрим определитель n-го порядка как алгебраическую сумму произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца с точки зрения комбинаторских задач конечного множества.

Итак,

В каждое произведение взят один элемент из каждой строки и каждого столбца, то есть в определителе III порядка элементов, входящих в произведение, три. Очевидно, что в определителе n-го порядка элементов, входящих в произведение, n.

Таких произведений из 3-х элементов (из n элементов) можно перебрать столько, сколько существует различных подстановок, соответствующих индексам элементов, входящих в произведение.

Действительно, в определителе III порядка произведений, входящих в алгебраическую сумму, 6, то есть (3!). Очевидно, что в определителе n-го порядка произведений – n!.

Из (n!) произведений с «плюсом» и с «минусом» – одинаковое количество, причем знак произведения соответствует четности (нечетности) подстановки индексов элементов, участвующих в произведении: если подстановка четная, то знак «плюс», если нечетная, то «минус».

В определителе III порядка каждому произведению соответствует подстановка индексов:

а11а22а33	®				, [число инверсий] = 0;
	1		3
- а13а22а31	®				, [число инверсий] = 3;
- а12а21а33	®				, [число инверсий] = 1;
а12а31а23	®			2	, [число инверсий] = 2;
а13а21а32	®			3	, [число инверсий] = 2;
- а11а23а32	®				, [число инверсий] = 1.

Видно, что знак произведения соответствует четности подстановки индексов.

С учетом данного подхода к понятию определителя n-го порядка отметим, что произведение элементов главной диагонали входит в алгебраическую сумму произведений со знаком «плюс» для любого n, так как индексы элементов, участвующие в произведении, составляют прямую подстановку.

1			…	n	, [число инверсий] = 0.
			…	n

Произведению элементов побочной диагонали соответствует обратная подстановка

1			…	n - 1	n	, [число инверсий] = ,
n	n – 1	n - 2	…

четность зависит от n, то есть знак произведения зависит от порядка определителя. Так, в определителе II и III порядков – «минус», в определителе IV порядка – «плюс» и так далее.

Бином Ньютона.
Метод математической индукции

Формула бинома Ньютона:

- биномиальные коэффициенты

может быть доказана при помощи метода математической индукции.

Метод заключается в следующем:

1) проверяется справедливость утверждения при n = 1, 2, 3, 4, …;

2) делается предположение, что утверждение справедливо только до некоторого n;

3) доказывается, что утверждение справедливо для следующего (n – 1), а, следовательно, справедливо для любого n.

Этот метод основан на принципе, который является аксиомой арифметики натуральных чисел.

Продемонстрируем этот метод на примере.

Пример.

Доказать справедливость неравенства Я.Бернулли

1. При n = 1

(1 + x)¹ = 1 + x,

n = 2

(1 + х)² = 1 + 2х + х² ³ 1 + 2х, т.к. х² ³ 0

и так далее.

2. Предположим, что неравенство Я.Бернулли справедливо только для k членов натурального ряда

3. Докажем, что неравенство (*) справедливо для следующего (k + 1) натурального числа. Умножим правую и левую часть неравенства (*) на
(1 + х), т.к. (1 + х) > 0 (по условию х > - 1), то неравенство не меняет знак:

(1 + x)^k+1 ³ (1 + kx)(1 + x)

(1 + x) ^k+1 ³ 1 + (k + 1)x + kx²,

так как kx² ³ 0, то тем более справедливо:

(1 + x) ^k+1 ³ 1 + (k + 1)x,

то есть неравенство Я.Бернулли справедливо для (k + 1) натурального числа, то справедливо для любого n.

Докажем справедливость формулы бинома Ньютона при помощи метода математической индукции.

1. Проверим справедливость формулы

при n = 0

(a + b)⁰ = 1;

n = 1

(a + b) ¹ = a + b;

n = 2

(a + b) ² = a² + 2ab + b²;

n = 3

(a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³;

n = 4

(a + b) ⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

n = 5

(a + b) ⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

и так далее.

Коэффициенты каждого члена разложения называются биномиальными коэффициентами.

Нетрудно проверить, что любой коэффициент разложения может быть вычислен по формуле

(читается: С из «n» по «k»)

Значения биномиальных коэффициентов могут быть последовательно определены из так называемого треугольника Паскаля:

n

…

Каждый коэффициент образуется путем сложения двух стоящих над ним (справа и слева). Крайние значения для любого n = 1, так как

Видно, что биномиальные коэффициенты для любого n симметричны. Действительно, так как

то

2. Предположим, что формула бинома верна для первых n членов натурального ряда, то есть

3. Докажем, что формула верна для (n + 1) натурального числа:

Структура полученной формулы совпадает со структурой бинома Ньютона, докажем, что коэффициенты полученного разложения представляют собой биномиальные коэффициенты для (n + 1) натурального числа.

Таким образом, формула бинома Ньютона справедлива для любого n.

Бином Ньютона и биномиальные коэффициенты играют огромную роль во всех разделах высшей математики.

Так, например, в комбинаторике показывают числами сочетаний (без повторений) групп по «k» элементов из множества «n» элементов.

Примеры.

1. Сколькими способами можно рассадить группу из 28 человек по двое за парту?

Всего 378 способов рассадить по двое группу из 28 человек.

2. Сколько миноров k–го порядка М_k содержится в k строках (или k столбцах) в определителе n–го порядка?

Очевидно, что всего таких миноров М_k .

Поиск по сайту: