Ранг матрицы. Вычисление рангов

Рангом матрицы называется максимальный порядок отличных от нуля миноров М_к.

Дана матрица А=[ а_ij ]_m´n. Ее ранг r может быть вычислен перебором всех возможных М_к, начиная с М₁ до М_к. Если хотя бы один М_к¹0, а М_к+1 все равны «0», то ранг матрицы равен r = k.

Если хотя бы один М_к+1¹0, а М_к+2 все равны «0», то r = к + 1 и т.д.

Очевидно, что r = 0 матрицы, состоящей из одних нулей, и r = 1 матрицы, у которой один элемент не равен 0.

Метод вычисления ранга матрицы, вычисляя миноры, начиная с младшего порядка к старшему, называется метод окаймления.

Познакомимся с этим методом на примере.

Пример:

				-1
А=				-2
	-2	-4	-6
				3´4

Максимальный порядок М_к, который может быть вычеркнут в этой таблице, очевидно, М₃. Таких миноров - три. Если хотя бы один из них не равен 0, то ранг матрицы r(А)=3. Если они все равны 0, то необходимо перебрать все М₂, которые содержатся в этой матрице, и т.д. Данный путь предполагает перебрать все М_к, начиная со старшего порядка.

Так делать можно, но это довольно длинный алгоритм.

Выберем любой элемент матрицы, отличный от 0, например, а₁₁ =1. Этот элемент может быть рассмотрен как М₁¹0.

Так как этот минор равен «0», то не будем его в дальнейшем рассматривать.

Будем двигаться по строке и выберем элемент а₁₂ =2, считая его как еще один М₁¹0. Окаймляющий его минор М₂ слева мы уже рассматривали,

Опять двинемся вправо по первой строке: а₁₃ =3 и а₁₃ =М₁¹0,

Все М₂, содержащиеся в 1–й и 2–й строке, равны 0. Будем рассматривать 2–ю строку и окаймляющие миноры М₂, содержащиеся во 2–й и 3–й строках.

максимальный порядок минора – второй, тогда r(А) = 2.

Этот метод довольно громоздок и часто труден для применения на практике. Чаще используется на практике метод вычисления ранга матрицы с использованием линейных преобразований над строками и столбцами.

К линейным преобразованиям относятся:

1. Вынесение общего множителя из некоторой строки (или столбца)

2. Сложение элементов любой строки (или столбца) с соответствующими элементами другой строки (или другого столбца) умноженные на некоторый коэффициент.

Познакомимся с этим методом на примере.

Пример:

Вычислить ранг А.

Выберем любой элемент, не равный 0, и назовем его условно главным элементом. Например, а₁₁ =1. Пусть 1–й столбец, в котором стоит этот элемент, будет главным. Тогда, подбирая соответствующие коэффициенты и складывая с соответствующими элементами других столбцов, добьемся обнуления элементов 1–й строки:

Теперь, если а₁₁ еще раз выбрать «главным», но теперь уже в 1–й строке, то элементы 1–го обнулятся автоматически, не изменяя элементов 2–й и 3–й строк, соответствующих нулевым:

Вынесем общие множители из 2–го, 3–го, 4–го и 5–го столбцов

(5, -5, -5,-5). Эти множители можно не запоминать, т.к. нас интересует только порядок минора, не равного 0, а не величина, которой этот минор равен:

Пусть далее а₂₂ =1 будет главный. За счет этого элемента, выбранного главным в строке, а затем в столбце, обнулим элементы 3–й строки, а затем 3–го, 4–го и 5–го столбцов:

˜

˜

˜

Вычеркнем все нулевые строки и столбцы:

˜						˜

Остался минор М₂¹0, следовательно, ранг А равен 2, r = 2.

Лекция 10.
Теорема Кронекера – Копелли.
Решение произвольных систем
линейных уравнений

Произвольной системой линейных уравнений называется система следующего вида:

а₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

(1) а₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

………………………………………

а_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m

Матрицей системы А называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных

А=	а11	а12	…	а1n
а21	а22	…	а2n
………………….
аm1	аm2	…	аmn

Расширенной матрицей А¢ системы называется матрица(А½В) – это матрица А, к которой добавлен столбец свободных членов:

А¢=	а11	а12	…	а1n	b1
а21	а22	…	а2n	b2
.........................................
аm1	аm2	…	аmn	bm

Справедлива следующая теорема Кронекера – Копелли:

Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

Эта теорема лежит в основе методики исследования и нахождения решения произвольных систем.

Предположим, что rang(А)= rang(А¢)=r, т.е. система (1) совместна, тогда любой минор r-го порядка М_r¹0 может быть выбран в качестве базового минора.

Соответствующие ему неизвестные будут базовыми неизвестными, а оставшиеся неизвестные назовем свободными константами. Для определенности изложения, предположим, что М_r¹0 соответствует первым неизвестным: (х₁, х₂,..., х_r), которые, таким образом, являются базовыми, тогда (х_r+1, х_r+2,..., х_n) – свободные константы.

Перепишем систему (1) в соответствии с выбранным М_r

а₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1rx_r = b₁ - a_1,r+1x_r+1 -... - a_1nx_n

(2) а₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2rx_r = b₂- a_2,r+1x_r+1 -... – a_2nx_n

………………………………………

а_r1x₁ + a_r2x₂ + … + a_rrx_r = b_r- a_r,r+1x_r+1 -... – a_rnx_n

Все уравнения, начиная с (r+1), откинуты, т.к. они являются линейными комбинациями первых r. Это стало известно после вычисления рангов А и А¢. Все свободные константы перенесены в правые части уравнений со своими коэффициентами с противоположными знаками.

Система (2) имеет основную матрицу или главный определитель D=М_r¹0, следовательно, по правилу Крамера (2) совместна и имеет бесконечное множество решений, зависящих от свободных констант х_r+1=c₁, х_r+2=c₂,..., х_n=c_n-r.

Общее решение системы может быть записано в виде (3)

	x1=Dx(c1, c2,..., cn-r) / D 1
	x2=Dx(c1, c2,..., cn-r) / D 2
(3)..............................................
	xr=Dx(c1, c2,..., cn-r) / D r
	хr+1=c1
	хr+2=c2
	.............................................
	хn=cn-r

Из общего решения (3) может быть получено любое частное. Для этого необходимо присвоить свободным константам с₁, с₂,..., с_n-r конкретные значения и вычислить х₁, х₂,..., х_r

Пример.

х1-4х2+2х3= - 1
2х1-3х2-х3-5х4= - 7
3х1-7х2+х3-5х4= - 8
		-4					-4			-1
rang		-3	-1	-5	=rang		-3	-1	-5	-7	=2
		-7		-5			-7		-5	-8

(проверить самостоятельно)

Следовательно, по теореме Кронекера – Копелли система совместна и ее решение может быть записано через любой базовый минор 2-го порядка, не равный 0. Например,

(минор находится в левом верхнем углу основной матрицы системы)

Выберем его в качестве базового минора. Тогда, неизвестные х₁ и х₂ – базовые, а х₃,х₄ – свободные константы.

Перепишем систему в соответствии с выбранным базовым минором:

х₁-4х₂ = -1 – 2х₃

2х₁-3х₂ = - 7 +х₃+5х₄

Вычислим добавочные определители при базовых неизвестных D_х и D_х:

^{1 2}

Общее решение

Найдем какое-нибудь частное решение. Положим, например, с₁ и с₂ – нули, тогда

х₁= -5

х₂= -1

х₃= 0

х₄= 0

Если с₁ и с₂ – какие-нибудь другие величины, то в соответствии со свободными константами.

Например:

х₁= -1

х₂= -1

х₃= 1

х₄= 1 и т.д.

Мы можем в качестве базового минора выбрать любой другой

Этот минор соответствует х₃ и х₄ в 1-м и в 3-м уравнениях.

Тогда система будет

2х₃=-1-х₁+4х₂

х₃-5х₄=-8-3х₁+7х₂

Общее решение при таких выбранных базовых неизвестных («в такой базе»):

Если с₁ и с₂ – нули, то частное решение

х₁=0

х₂=0

х₃=-1/2

х₄=3/2

Из этого общего решения можно получить частное решение, полученное из любого другого, записанного «в любой другой базе».

Например,

х₁=-5

х₂=-1

х₃=0

х₄=0 может быть получено из последнего общего при х₁=-5, х₂=-1

х₁=-5

х₂=-1

х₃= -1/2(1-5+4)=0
х₄=1/2(3-5+2)=0

Поиск по сайту: