Понятие линейного пространства. Методические указания для выполнения лабораторных работ по курсу «Линейная алгебра»

Методические указания для выполнения лабораторных работ по курсу «Линейная алгебра»

Содержание

1. Понятие линейного пространства ………………………………………….3

2. Линейная зависимость векторов …………………………………………...6

3. Системы линейных однородных уравнений………………………………8

4. Преобразование координат вектора……………………………………..11

5. Линейные операторы…………………………………………......................14

6. Действия с операторами и их матрицами………………………………15

7. Преобразование матрицы оператора……………………………………17

8. Матрица, образ, ядро оператора…………………………………………...21

9. Собственные значения и собственные векторы оператора…………..23

10. Канонический вид квадратичной формы. Метод Лагранжа………..25

Канонический вид квадратичной формы. Ортогональное

преобразование………………………………………………………………27

12. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду…………………………………………………………..28

Понятие линейного пространства

Постановка задачи. Образует ли линейное пространство заданное множество , в котором определены «сумма» любых двух элементов и и «произведение» любого элемента на любое число .

План решения.

Пусть, задано некоторое множество , элементы которого будем называть векторами (независимо от природы элементов множества). Наряду с множеством векторов будем рассматривать числовое поле , под которым подразумевается поле комплексных чисел либо поле вещественных чисел . Элементы будем обозначать латинскими малыми буквами, а элементы множества – греческими малыми буквами.

Определение. Пара называется линейным пространством, если () задан закон, по которому любой паре векторов сопоставлен вектор, называемый их суммой и обозначаемый символом , причем для любых выполнено: () ; () ; () для любого существует нуль-вектор , что ; () для любого существует противоположный вектор , что ; () задан закон, по которому для любого и любого числа сопоставлен вектор , называемый произведением числа на вектор , причем выполнено: () ; () ; () ; () .

Исходя из определения линейного пространства, проверяем следующие условия.

1. Являются ли введенные операции сложения и умножения на число замкнутыми в , т.е. верно ли, что и

?

Если нет, то множество не является линейным пространством, если да, то продолжаем проверку.

2. Находим нулевой элемент такой, что

.

Если такого элемента не существует, то множество не является линейным пространством, если существует, то продолжаем проверку.

3. Для каждого элемента определяем противоположный элемент такой, что

.

Если такого элемента не существует, то множество не является линейным пространством, если существует, то продолжаем проверку.

4. Проверяем выполнение остальных аксиом линейного пространства, т.е. и :

Если хотя бы одна из этих аксиом нарушается, то множество не является линейным пространством. Если выполнены все аксиомы, то множество – линейное пространство.

Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов и и произведение любого элемента на любое число ?

Множество всех векторов, лежащих на одной оси; сумма , произведение .

Введенные таким образом операции являются замкнутыми в данном множестве, т.к. сумма двух векторов лежащих на одной оси есть вектор лежащий на той же оси и произведение вектора на число также будет вектором на той же оси.

Проверим выполнение аксиом линейного пространства.

Аксиомы группы :

: – выполняется;

: – выполняется;

: в качестве нуля возьмем нуль-вектор, т.к. ;

: в качестве противоположного элемента возьмем противоположный вектор , т.к. .

Аксиомы группы :

: – выполняется;

: – выполняется;

: – выполняется;

: – выполняется.

Т.е. множество всех векторов, лежащих на одной оси с суммой и произведением является линейным пространством.

Перейти к содержанию

Поиск по сайту: