Общие уравнения прямой в пространстве. Приведение общих уравнений к каноническому виду

Если даны уравнения двух пересекающихся плоскостей, то система этих уравнений определяет прямую, являющуюся линией пересечения этих плоскостей:

(5).

В данном случае плоскости заданы своими общими уравнениями, поэтому уравнения системы (5) иногда называют общими уравнениями прямой. Внешний вид общих уравнений прямой наименее ее характеризует. Поэтому рассмотрим задачу о преобразовании общих уравнений прямой к каноническому виду:

.

Для этого надо знать координаты точки М₀ данной прямой и вектор , параллельный данной прямой.

1^й шаг. Точка М₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит прямой L, значит она принадлежит обеим плоскостям, поэтому ее координаты являются решением системы (5). Одной из переменных даем произвольное значение. Например, если , то положив z=z₀ (произвольно), получим систему

.

Пусть (x₀, y₀) – решение этой системы. Тогда точка М₀(x₀, y₀, z₀) будет лежать на линии пересечения плоскостей, т.е. на прямой L.

2^й шаг. Ищем направляющий вектор . Т.к. искомый вектор перпендикулярен к нормальным векторам и плоскостей, задающих прямую, то можно положить

или .

Пример. Дана прямая: .

1^й шаг. Т.к. наибольшие коэффициенты у нее при y и , то удобно положить y₀=0 и получим систему: , z₀=-1, x₀=1, - начальная точка прямой.

2^й шаг. ; и .

- направляющий вектор прямой.

Канонические уравнения: .

Поиск по сайту: