Пучок плоскостей

Пучок плоскостей – множество всех плоскостей, проходящих через заданную прямую – ось пучка.

Чтобы задать пучок плоскостей, достаточно задать его ось. Пусть уравнение этой прямой задано в общем виде:

.

Составить уравнение пучка – значит составить уравнение, из которого можно получить при дополнительном условии уравнение любой плоскости пучка, кроме, б.м. одной. Умножим II уравнение на л и сложим с I уравнением:

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ + л(A₂x + B₂y + C₂z + D₂) = 0 (1) или

(A₁+ лA₂)x + (B₁+ лB₂)y + (C₁ + лC₂)z + (D₁ + лD₂) = 0 (2).

л – параметр – число, которое может принимать действительные значения. При любом выбранном значении л уравнения (1) и (2) линейные, т.е. это – уравнения некоторой плоскости.

1. Покажем, что эта плоскость проходит через ось пучка L. Возьмем произвольную точку M₀(x₀, y₀, z₀) L. Следовательно, М₀ Р₁ и М₀ Р₂. Значит:

.

Следовательно, плоскость, описываемая уравнением (1) или (2) принадлежит пучку.

2. Можно доказать и обратное: всякая плоскость, проходящая через прямую L, описывается уравнением (1) при соответствующем выборе параметра л.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x + y + 5z – 1 = 0 и 2x + 3y – z + 2 = 0 и через точку М(3, 2, 1).

Записываем уравнение пучка: x + y + 5z – 1 + л(2x + 3y – z + 2) = 0. Для нахождения л учтем, что М Р: 3 + 2 + 5 – 1 + л(6 + 6 – 1 + 2) = 0 => л = , т.е.

x + y + 5z – 1 (2x + 3y – z + 2) = 0, 5x + 14y – 74z + 31 = 0.

Пример 2 (Э). Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую и точку М₀ (4, -2, -3).

Запишем ; 17 + л = 0; л = -17

3x – y + 2z + 9 + 17x + 17z – 51 = 0; 20x – y + 19z – 42 = 0.

Пример 3 (Э). Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости x – 2y + z + 5 = 0. ; 3x – 2y + z – 3 + л(x – 2z) = 0; (3 + л)x – 2y + (1 – 2 л)z – 3 = 0; ; ; л = 8; 11x – 2y – 15z – 3 = 0.

Поиск по сайту: