Задача колебаний круглой мембраны. Диференциальные уравнения Бесселя. Функции Бесселя и их свойства

U(x,y,t)-отклонение от положения равновесия. Колебания описываются функцией U.

Будем считать, что наша задача подчиняются волновому уравнению.

Задача обладает сферической симметрией, поэтому удобно работать в полярных координатах

U(r,φ)|_r=a=0 – мембрана закрепленная по периметру.

U|_t=0=f(r,φ) U_t|_t=0=g(r,φ)

Решаем задачу разделения переменных

U(r,φ,t)= U (r,φ)T(t)

T=A cos(λct)+Bsin(λct)

Т.к. 2-е уравнение содержит 2 переменные, то

U (r,φ)=R(r)Ф(φ)

Получим

Ф⁽²⁾+p²Ф=0 Ф=Сcos(pφ)+Dsin(pφ)

r²R⁽²⁾+rR^/+(r²λ²-p²)R=0

физически 0≤φ≤2π

Функция периодична при целом P

Ф_n=C_ncos(nφ)+D_nsin(nφ)

U|_r=a=R(a)T(t)Ф(φ)=0

R(a)=0

r²R⁽²⁾+rR^/+(r²λ²-n²)R=0 – уравнение Бесселя с начальным условием

R(r)=G₁I_n(λr)+ G₂I_n(λr)

G₂=0 ввиду конечности решения

I_n(λа)=0 I_n(а_m⁽ⁿ⁾)

λ_nm=a_m⁽ⁿ⁾/a

Окончательно

U(r,φ,t)=ΣC_n,mI_n(λ_n,mr)exp(in φ +I λ t)

Уравнение Бесселя имеет вид

x²y⁽²⁾+xy^/+(x²-v²)y=0, где v – параметр задачи(может быть конечным).Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

y=C₁Y_v(x)+ C₂V_v(x)

Поиск по сайту: