АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Радианная мера углов. Тригонометрические функции угла и числового аргумента. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

Читайте также:
  1. CTMPINCS (В.Спецификация образца приходного документа)
  2. D) постоянных затрат к разнице между ценой реализации продукции и удельными переменными затратами.
  3. E) Для фиксированного предложения денег количественное уравнение отражает прямую взаимосвязь между уровнем цен Р и выпуском продукции Y.
  4. F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .
  5. I I. Тригонометрические уравнения.
  6. I Психологические принципы, задачи и функции социальной работы
  7. I Раздел 1. Международные яиившжоши. «пююеям как процесс...
  8. I. Деньги и их функции.
  9. I. О различии между чистым и эмпирическим познанием
  10. I. Функции
  11. I. Функции эндоплазматической сети.
  12. II. Контроль исходного уровня знаний студентов

Занятие № 1

1. Понятие угла
В геометрии В тригонометрии
Угол - геометрическая фигура, об­разованная двумя лучами, которые выходят из одной точки.   АОВ образован лучами ОА и ОВ   Угол — фигура, образованная при повороте луча на плоскости около начальной точки.
 
 


АОВ образован

при повороте луча

ОА около точки О

2. Измерение углов
Градусная мера угла (10 = часть развернутого угла)
Каждому углу ставится в соответ­ствие градусная мера [0°; 180°].
 
 

 

 


АОВ = 900

 

Каждому углу как фигуре ставится в соответствие угол поворота, с по­мощью которого образован этот угол. Угол поворота (- ; + ).
 
 


АОВ = = 900

АОВ = = - 2700

АОВ = =

= 900 + 3600 = 4500

 

 

Радианная мера угла
 
 
 

 

 

1 радиан — центральный угол, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу окружности.   АОВ = 1 рад. Это означает, что АВ = ОА = R   АОС = 1800 = (радиан)   АОС – развернутый.   10 = радиан 1 радиан = 570  
     

Примеры.

  1. Выразите в радианах величины углов:300; 450; 600; 900; 2700; 3600.

Решение: Поскольку 300 – это часть угла 1800, то из равенства 1800 = (рад) получаем, что300 = (рад).

В общем случае учитываем, что 10 = радиан, тогда:

450 = 45 = (рад);

600 = 60 = (рад);

900 = 90 = (рад);

2700 = 270 = (рад);

3600 = 360 = (рад);

 

  1. Выразите в градусах величины углов: ; ; ; 5.

Решение: Поскольку - это часть угла , то из равенства = 1800 получаем, что = 180.

В общем случае учитываем, что 1 радиан = , тогда:

= = 1200;

 

= = 1350;

 

  1. Изобразите угол, образованный поворотом луча ОА около точки О на:

1) 2700;

2) -2700;

3) 7200;

4) -900;

5) 2250;

6) -450;

7) 5400;

8) -1800;

9) 3600;

10) -600.


 

  1. Чему равны углы поворота, показанные на рисунке

 

 
 

 


1) 2) 3) 4)

 

 

  1. Выразите в радианной мере величины углов:

1) 2250;

2) 360;

3) 1000;

4) -2400;

5) -22,50;

6) -1500.

 


  1. Выразите в градусной мере величины углов:

1) 3 ;

2) ;

3) - ;

4) ;

5) - ;

6) ;

7) - ;

8) 3.



 

3. Определение тригонометрических функций
Через единичную окружность (R = 1) Через произвольную окружность (R – радиус окружности) Через прямоугольный треугольник (для острых углов)
    sin = у – ордината точки Р   cos = х – абсцисса точки Р   tg = =   сtg = =   sin = cos = tg =   сtg =   sin = cos = tg =   сtg =
4. Тригонометрические функции числового аргумента
sin(числа ) = sin(угла в радиан) cos (числа ) = cos (угла в радиан) tg (числа ) = tg (угла в радиан) сtg (числа ) = сtg (угла в радиан)
5. Линии тангенсов и котангенсов
    АР0 – линия тангенсов (АР0 Оу)   tg = уА - ордината соответствующей точки линии тангенсов         СВ – линия котангенсов (СВ Ох)   сtg = хВ – абсцисса соответствующей точки линии котангенсов  
       

 


 

6. Знаки тригонометрических функций
   
7. Четность и нечетность
  Косинус — четная функция     cos (- ) = cos     Синус, тангенс и котангенс —нечетные функции   sin (- ) = - sin tg(- ) = - tg сtg(- ) = - сtg
8.Функция f(х) называется периодической с периодом Т 0, если для любых х из области определения функции числа (х + Т) и - Т) также принадлежат области определения и выполняется равенство f (х + Т) = f (х - Т) = f (х).  
у = - дробная часть числа х
 
 

 

 

    Через промежутки длиной Т (на оси Ох) вид графика периодической функции повторяется    
Если Т – период функции, то Т, 2Т, 3Т, …, kТ – также периоды этой функции (k N)
sin (x+ 2 ) = sin x cos (x + 2 ) = cos x Функции sin х и cos х имеют период Т = 2 Т = 2 - общий период для всех функций: sin х, cos х, tg х, ctg х
tg (x + ) = tg x ctg (x + ) = ctg x Функции tg х и ctg х имеют период Т =

 

 

градусы 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
радианы   2
sin       - 1  
cos       - 1    
tg     -   -  
сtg     -   -

Примеры:

  1. Пользуясь периодичностью, четностью и нечетностью тригонометрических функций, найдите:

1) sin ;

2) sin (- 7500);

3) sin ;

4) cos (- 4050);

5) cos ;

6) tg ;

7) tg 6000;

8) tg ;

9) ctg (- 5700);

10) ctg 9450;

11) ctg .


Примеры решения задач: 1) sin = sin = sin = sin = sin = sin = 1 (Учитывая, что значение функции sin х повторяется через период 2 , выделим в заданном аргументе число, кратное периоду (то есть 10 ), а потом воспользуемся равенством

sin (2 + ) = sin .);

2) cos (- 7500) = cos (2·3600 + 300) = cos 300 = . (Сначала учитываем четность косинуса:

cos (- ) = cos , а потом его периодичность с периодом 2 = 3600: cos ( +3600) = cos .)

 

  1. Найдите период каждой из данных функций:

1) у = cos 2x;

 

2) у = tg 5x;

3) у = cos ;

4) у = sin ;

5) у = ctg 3x;

6) у = cos .


Примеры решения задач: Если функция у = f(х) периодическая с периодом Т, то функция

у = Аf (kx + b) также периодическая с периодом Т1 = (А, k, b – некоторые числа и k 0).

1) у = sin 4х: А = 1, k = 4, b = 0, период функции у = sin х равен Т = 2 , следовательно,

Т1 = = ;

2) у = tg : А = 1, k = , b = 0, период функции у = tg х равен Т = , следовательно,

Т1 = = = 4 .

 

  1. Вычислить:

1) 3cos - sin + ctg ;

2) 2 sin - tg + cos ;

3) 2 sin - cos + tg ;

4) tg - sin + cos ;

5) 2 cos 600 + cos 300;

6) 5 sin 300 - ctg 450;

7) 2 sin 300 + 6 cos 600 – 4 tg 450;

8) 3 tg 450 sin 600;

9) 4 tg 600 tg 600;

10) 12 sin 600 cos 600;

11) 2 sin 600 ctg 600;

12) 2 sin 450 - cos 300;

13) 7 tg 300 сtg 300;

14) 6 сtg 600 - 2 sin 600.


 


Примеры решения задач:

2 sin - cos + tg = 2 0 - 0 + = .

 

  1. Привести к одноименной функции острого угла:

1) cos 18270;

2) tg 9780;

3) sin (-8000);

4) ctg 13050;

5) sin ;

6) tg ;

7) ctg .


Примеры решения задач:

sin 17820 = sin(5 · 3600 - 180) = sin(- 180) = - sin180

 

 

  1. Вычислить значение тригонометрической функции:

1) cos 11250;

2) cos (-3150);

3) tg ;

4) cos

5) sin 3900;

6) cos 4200;

7) tg 5400;

8) ctg 4500;

9) sin 4050;

10) cos 7200;

11) tg 3900;

12) сtg 6300;

13) sin (-7200);

14) cos (-4050);

15) cos (-7800);

16) ctg (-11100);

17) tg (-9000);

18) ctg (-7800);

19) sin (-11250).



9. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента
 
 

 

 


cos = х

sin = у

  Основное тригонометрическое тождество  
tg =   ctg =   tg · ctg = 1   1 + tg2 =   1 + ctg2 =  

Примеры решения задач:

  1. Зная значение одной из тригонометрических функций и интервал, в котором находится , найдите значение трех остальных тригонометрических функций:

sin = , 900 < < 1800.

Решение:

1) Равенство связывает cos и sin и позволяет выразить одну из этих функций через другую. Например, .Тогда . Учитывая, в какой четверти находится , мы можем определить знак, который необходимо взять в правой части формулы (это знак косинуса во ІІ четверти). Зная, cos и sin , находим tg = и ctg = . Укажем, что после нахождения tg значение сtg можно также найти из соотношения tg · ctg = 1.

Итак, из равенства получаем: . Отсюда . Поскольку 900 < < 1800, то , а значит, . Тогда tg = = , ctg = = .

  1. Упростите выражение .

Примеры решения задач:

Для преобразования числителя данной дроби из основного тригонометрического тождества находим: . Затем, используя определение тангенса:

tg = , упрощаем полученную дробь. Итак, = .

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.031 сек.)