Решение простейших тригонометрических уравнений

1. Понятие обратной функции

Известно, что зависимость пути от времени движения тела, которое движется равномерно с постоянной скоростью v ₀, выражается формулой S = v₀t. Из этой формулы можно найти обратную завиcимость –

времени от пройденного пути . Функцию называют обратной к функции S(t)= v₀t. Отметим, что в рассмотренном примере каж­дому значению t (t 0) соответствует единственное значение S и, наоборот, каждому значению S (S 0) соответствует единственное значение t.

Рассмотрим процедуру получения обратной функции в общем виде.

Пусть функция f (х) принимает каждое свое значение в единственной точке ее области определения (такая функция называется обратимой). Тогда для каждого числа y₀ = b (из области значений функции f(х)) существует един­ственное значение х₀ = а, такое, что f(а) = b. Рассмотрим новую функцию g(х), которая каждому числу b из области значений функции f (х) ставит в соответ­ствие число а, то есть g(b) = а для каждого числа b из области значений функ­ции f(х). В этом случае функция g(х) называется обратной к функции f(х), а функция f(х) - обратной к функции g(х). Поэтому говорят, что функции f(х) и g (х) взаимно обратные.

Из определения обратной функции вытекает, что область значений пря­мой функции Е (f) является областью определения обратной функции D(g), а область определения прямой функ­ции D (f) является областью значений обратной функции Е(g). То есть Е (f) = D(g), D (f) = Е(g).

1. Понятие обратной функции
Если функция у = f(х) принимает каждое свое значение в единствен­ной точке ее области определения, то можно задать функцию у = g(х), которая называется обратной к функции у = f(х): для каждого , если , то Е (f) = D(g), D (f) = Е(g)   g Функции f(х) и g(х) взаимно обратные
2. Свойства обратной функции
	1) Графики прямой и обратной функций симметричны относи­тельно прямой у = х.
	2) Если функция f(х) возрастает (убывает) на некотором проме­жутке, то она имеет обратную функцию на этом промежутке, которая возрастает, если f(х) возрастает, и убывает, если f(х) убывает.
3. Практический прием нахождения формулы функции, обратной к функции у = f(х)
Алгоритм	Пример
Выяснить будет ли функция у = f(х) обратимой на всей области определения: для этого достаточно выяснить, имеет ли уравнение у = f(х) единственный корень относительно переменной х. Если нет, то попытаться выделить промежуток, где существует обратная функция (например, это может быть промежуток, где функция у = f(х) возрастает или убывает). Из равенства у = f(х) выразить х через у. В полученной формуле ввести традиционные обозначения: аргумент обозначить через х, а функцию – через у.	Найдите функцию, обратную к функции у = 2х + 4.   Решение: Из равенства у = 2х + 4 можно однозначно выразить х через у: х = у – 2.   Эта формула задает обратную функцию, но в ней аргумент обозначен через у, а функция – через х. Обозначим в полученной формуле аргумент через х, а функцию – через у.   Получаем функцию у = х – 2, обратную к функции у = 2х + 4.

2. Для получения обратных тригонометрических функций для каждой три­гонометрической функции выделяется промежуток, на котором она возрас­тает (или убывает). Для обозначения обратных тригонометрических функ­ций перед соответствующей функцией ставится буквосочетание «агс» (чита­ется: «арк»).

1. Функция у = arcsin x
1.1. График
y = sin x	у = arcsin x
На промежутке sin x возрастает
1.2. Значение у = arcsin a ()
Ориентир	Пример
аrcsin a – это такое число из промежутка , синус которого равен a. аrcsin a = , если ,	аrcsin = , так как и sin =
1.3. Нечетность функции у=arcsin x
	аrcsin (- a) = - аrcsin a

2. Функция у = arccos x
2.1. График
y = cos x	у = arccos x
На промежутке cos x убывает
2.2. Значение у = arccos a ()
Ориентир	Пример
аrccos a – это такое число из промежутка , косинус которого равен a. аrccos a = , если ,	аrccos = , так как и cos =
2.3. Формула для arccos (- a)
	arccos (- a) = - arcos a

3. Функция у = arctg x
3.1. График
y = tg x	у = arctg x
На промежутке tg х возрастает
3.2. Значение у = arctg a
Ориентир	Пример
аrctg a – это такое число из промежутка , тангенс которого равен a. аrctg a = , если ,	аrctg = , так как и tg =
3.3. Нечетность функции arctg a
	arctg (- a) = - arсtg a

4. Функция у = arcctg x
4.1. График
y = ctg x	у = arcctg x
На промежутке ctg х убывает
4.2. Значение у = arcctg a
Ориентир	Пример
аrcctg a – это такое число из промежутка , котангенс которого равен a. аrcctg a = , если ,	аrcctg = , так как и ctg =
4.3. Формула для arcctg (- a)
	arcctg (- a) = - arcсtg a

3. Решение простейших тригонометрических уравнений

 

Тригонометрическими уравнениями называются уравнения, в которых неизвестное (переменнная) входит только под знак тригонометрической функции.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения соs х = а, sin х = а, tg х = а,

ctg х = а.

 

1. Уравнение соs х = а
Графическая иллюстрация
Решения	Частные случаи
>1	1	cos x = 0	x = k, k
корней нет	х = arccos а + 2 k, k	cos x = 1	x = 2 k, k
cos x = - 1	x = + 2 k, k
2. Уравнение sin х = а
Графическая иллюстрация
Решения	Частные случаи
>1	1	sin x = 0	x = k, k
корней нет	х = (-1) k arcsin а + k, k	sin x = 1	x = + 2 k, k
sin x = - 1	x = - + 2 k, k

 

3. Уравнение tg х = а
Графическая иллюстрация
Решениe	Частные случаи
x = arctg a + k, k	tg x = 0	x = k, k
4. Уравнение ctg х = а
Графическая иллюстрация
Решениe	Частные случаи
x = arcctg a + k, k	ctg x= 0	x = + k, k

 

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |

Поиск по сайту:

---