Лінійні рівняння та звідні до них

Диференціальне рівняння вигляду (6)

називають лінійним. Будемо вважати, що функції , неперервні на деякому інтервалі .

Якщо в (6) для всіх , то воно має вигляд

(7)

і його називають лінійним однорідним Рівняння (6), в якому тотожно не дорів­нює нулю, нази­вають лінійним неоднорідним.

Для цього використаємо метод варіації довільної сталої (метод Лагранжа 1)). Зінте­груємо спочатку лінійне однорідне рівняння (7). Відокрем­люючи у ньому змінні, одержуємо:

, (8)

де С – довільна стала. Формула (8) описує всі розв’язки рівняння (7), бо розв’язок , який міг бути втраченим при відокремленні змінних, міститься в загальному розв’язку (8) (якщо ).

. (9)

Для знаходження функції С (x) підставимо (9) у (6). Тоді

.

Підставляючи знайдене значення С (x) в формулу (9), одержуємо формулу для загаль­ного розв’язку лінійного рівняння:

. (10)

Рівняння Бернуллі. Рівняння вигляду

, (11)

називають рівнянням Бернуллі. Випадки та не розгля­да­­ємо, бо для цих значень m рівняння (11) є лінійним. Вважатимемо, що функції і неперервні на деякому інтервалі .

Рівняння Бернуллі завжди може бути зведене до лінійного рівняння. Для цього, так само, як і для лінійного рівняння, викорис­таємо метод варіації довільної сталої.

Зінтегруємо спочатку рівняння . Його загальний роз­в’язок задається форму­лою

.

Розв’язок рівняння Бернуллі шукатимемо у вигляді

, (12)

де – деяка функція. Підставляючи (12) у (11), одер­жуємо:

.

Підставляючи знайдену функцію у(12), одержуємо загальний розв’язок рівняння Бернуллі:

.

При цьому міг бути втрачений розв’язок , якщо . Якщо ж , то цей розв’язок буде особливим, а якщо , то частинним. Для функція не є розв’язком рівняння (11).

3. Рівняння у повних диференціалах. Рівняння вигляду (1),називають рівнянням у повних диференціалах, якщо його ліва части­на є пов­ним диференціалом деякої функції , тобто якщо .(2).З (1), (2) випливає, що рівняння у повних диференціалах можна записати у вигляді ,а тому його загальним інтегралом є . Особливих розв’язків рівняння у повних диференціалах, очевидно, не має. Припустимо, що функції M, N мають неперервні похідні . .(4). Умова (4) є необхідною для того, щоб ліва частина рівняння (1) була повним диференціалом. Таким чином, загальний інтеграл рівняння (1) можна записати у вигляді (7).Якщо, будуючи функцію , взяти за вихідну другу з рівностей (3), то одержимо інший вираз для загального інтеграла рівняння (1), а саме (8)

Інтегрувальний множник. Функцію називають інтегрувальним множником рівняння (1), якщо рівняння (10),в області G є рівнянням у повних диференціалах. Умови на функції і : вони неперервні разом з частинними похідними і в деякій однозв’язній області G і у жодній точці цієї області одночасно не перетворюються в нуль. Від інтегрувального множника вимагатимемо, щоб від не перетворювався в нуль і мав неперервні частинні похідні першого порядку. (11).

Для знаходження функції одержали рівняння (11), задача інтегрування якого є досить складною. Однак у деяких випадках рівняння (11) вдається легко розв’язати.

Випадок 1. Нехай – інтегрувальний множник рівняння (1). .,де, наприклад, можна покласти
Випадок 2. Нехай – інтегрувальний множник рівняння (1). , Знаючи інтегрувальний множник, можна знайти не тільки загальний інтеграл рівняння, але й всі його особливі розв’язки.

4. Рівняння які нерозв’язні відносно похідної

. (2)

Рівняння (2) називають диференціальним рівнянням першого поряд­ку, не розв’язаним відносно похідної або неявним диферен­ціаль­ним рівнянням першого порядку.

Розв’язком диференціального рівняння (2) на деяко­му інтервалі називають функцію , яка визначена і неперервно дифе­рен­­ційовна на цьому інтервалі і перетворює рівняння (2) у тотожність

.

Функцію, яка задана параметрично, , ,

називають розв’язком рівняння (2) на проміжку , якщо для всіх виконується тотожність

, причому , .

Теорема 1. Нехай функція у рівнянні (2) задовольняє такі три умови:

1) вона визначена і неперервно диференційовна разом з своїми частин­ними похідними в деякому замкненому околі точки ;

2) ;

3)

Тоді рівняння (2) має єдиний розв’язок , визначений і неперервно диференційовний у деякому околі точки , який задо­вольняє початкову умову , і для якого .

Нехай кожне з цих рівнянь має загальний розв’язок

, (5)

або загальний інтеграл , , (6)

де С – довільна стала. Сукупність загальних розв’язків (5) або загаль­них інте­гралів (6) називають загальним інтегра­лом рівняння (2)

Розв’язок рівняння (2), в кожній точці графіка якого виконується умова єдиності розв’язку задачі Коші, називають частинним роз­в’яз­ком цього рівняння.

Особливим розв’язком рівняння (2) називають розв’язок, у кож­ній точці графіка якого порушується властивість єдиності, тобто через кожну точку якого проходить щонайменше дві інтегральні кри­ві, що мають однаковий напрям дотичної.

Рівняння степеня n. Найбільш важливим частковим випад­ком рів­нян­ня (1) є рівняння першого порядку n-го степеня. Так нази­вають рівняння вигляду

(9) де – функції, неперервні у деякій області , причому

Відкидаючи комплексні значення, матимемо диференціальних рівнянь першого порядку, розв’язаних відносно похідної:

(10)

Припустимо, що в кожній точці області G інтегральні кри­ві різних рівнянь (10) не дотикаються одна до одної. Тоді сукупність загальних розв’яз­ків ,

або загальних інтегралів ,

рівнянь (10) є загальним інтегралом рівняння (9). Його можна запи­са­ти також у вигляді

або як

5. Рівняння, які не допускають зниження порядку

Розглянемо диференціальне рівняння

(1)

Якщо ввести нову невідому функцію за формулою

, (2)

то рівняння (1) можна записати у вигляді

(3)

Отримане рівняння (3) має -ий порядок, тобто за допомогою заміни (2) вдалося понизити порядок рівняння (1) на k одиниць.

Припустимо, що розв’язуючи рівняння (3), нам вдалося знайти його загальний розв’язок . Тоді, враховуючи (2), для знахо­дження функції отримуємо рівняння k -го порядку

, (4)

яке розглядалось на лекції 9 (формула (10)). Інтегруючи рівняння (4), одержимо ще k довільних сталих. Таким чином, одержимо

.

Якщо є загальним інтегралом рівняння (3), то при­хо­димо до рівняння вигляду , яке вивчалось раніше (лекція 9, формула (9)). Якщо це рівняння допускає параметричне представлен­ня, то отримаємо загальний розв’язок (у параметричній формі) за допомогою k довільних сталих.

Поиск по сайту: