АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Лінійні рівняння та звідні до них

Читайте также:
  1. Бюджетні обмеження споживача, бюджетне рівняння та фактори впливу на бюджетну лінію.
  2. Бюджетні обмеження. Вплив зміни доходу або ціни товару на бюджетні обмежені обмеження. Нелінійні бюджетні обмеження.
  3. Види матриць. Лінійні дії над матрицями та їх властивості. Транспонування матриць. Добуток матриць
  4. Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
  5. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної.
  6. Грошовий обіг та його закони. Рівняння грошової та товарної мас (рівняння Ірвена Фішера). Грошові агрегати.
  7. Диференціальне рівняння кривої, яка в кожній точці має задану дотичну
  8. Диференціальні рівняння вищих порядків
  9. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ МЕТОД ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ
  10. Диференціальні рівняння другого порядку
  11. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними
  12. Диференціальні рівняння з відокремленими і відокремлюваними змінними

Диференціальне рівняння вигляду (6)

називають лінійним. Будемо вважати, що функції , неперервні на деякому інтервалі .

Якщо в (6) для всіх , то воно має вигляд

(7)

і його називають лінійним однорідним Рівняння (6), в якому тотожно не дорів­нює нулю, нази­вають лінійним неоднорідним.

Для цього використаємо метод варіації довільної сталої (метод Лагранжа 1)). Зінте­груємо спочатку лінійне однорідне рівняння (7). Відокрем­люючи у ньому змінні, одержуємо:

, (8)

де С – довільна стала. Формула (8) описує всі розв’язки рівняння (7), бо розв’язок , який міг бути втраченим при відокремленні змінних, міститься в загальному розв’язку (8) (якщо ).

. (9)

Для знаходження функції С (x) підставимо (9) у (6). Тоді

.

Підставляючи знайдене значення С (x) в формулу (9), одержуємо формулу для загаль­ного розв’язку лінійного рівняння:

. (10)

Рівняння Бернуллі. Рівняння вигляду

, (11)

називають рівнянням Бернуллі. Випадки та не розгля­да­­ємо, бо для цих значень m рівняння (11) є лінійним. Вважатимемо, що функції і неперервні на деякому інтервалі .

Рівняння Бернуллі завжди може бути зведене до лінійного рівняння. Для цього, так само, як і для лінійного рівняння, викорис­таємо метод варіації довільної сталої.

Зінтегруємо спочатку рівняння . Його загальний роз­в’язок задається форму­лою

.

Розв’язок рівняння Бернуллі шукатимемо у вигляді

, (12)

де – деяка функція. Підставляючи (12) у (11), одер­жуємо:

.

Підставляючи знайдену функцію у(12), одержуємо загальний розв’язок рівняння Бернуллі:

.

При цьому міг бути втрачений розв’язок , якщо . Якщо ж , то цей розв’язок буде особливим, а якщо , то частинним. Для функція не є розв’язком рівняння (11).


 

3. Рівняння у повних диференціалах. Рівняння вигляду (1),називають рівнянням у повних диференціалах, якщо його ліва части­на є пов­ним диференціалом деякої функції , тобто якщо .(2).З (1), (2) випливає, що рівняння у повних диференціалах можна записати у вигляді ,а тому його загальним інтегралом є . Особливих розв’язків рівняння у повних диференціалах, очевидно, не має. Припустимо, що функції M, N мають неперервні похідні . .(4). Умова (4) є необхідною для того, щоб ліва частина рівняння (1) була повним диференціалом. Таким чином, загальний інтеграл рівняння (1) можна записати у вигляді (7).Якщо, будуючи функцію , взяти за вихідну другу з рівностей (3), то одержимо інший вираз для загального інтеграла рівняння (1), а саме (8)

Інтегрувальний множник. Функцію називають інтегрувальним множником рівняння (1), якщо рівняння (10),в області G є рівнянням у повних диференціалах. Умови на функції і : вони неперервні разом з частинними похідними і в деякій однозв’язній області G і у жодній точці цієї області одночасно не перетворюються в нуль. Від інтегрувального множника вимагатимемо, щоб від не перетворювався в нуль і мав неперервні частинні похідні першого порядку. (11).

Для знаходження функції одержали рівняння (11), задача інтегрування якого є досить складною. Однак у деяких випадках рівняння (11) вдається легко розв’язати.

Випадок 1. Нехай – інтегрувальний множник рівняння (1). .,де, наприклад, можна покласти
Випадок 2. Нехай – інтегрувальний множник рівняння (1). , Знаючи інтегрувальний множник, можна знайти не тільки загальний інтеграл рівняння, але й всі його особливі розв’язки.

4. Рівняння які нерозв’язні відносно похідної

. (2)

Рівняння (2) називають диференціальним рівнянням першого поряд­ку, не розв’язаним відносно похідної або неявним диферен­ціаль­ним рівнянням першого порядку.

Розв’язком диференціального рівняння (2) на деяко­му інтервалі називають функцію , яка визначена і неперервно дифе­рен­­ційовна на цьому інтервалі і перетворює рівняння (2) у тотожність

.

Функцію, яка задана параметрично, , ,

називають розв’язком рівняння (2) на проміжку , якщо для всіх виконується тотожність

, причому , .

Теорема 1. Нехай функція у рівнянні (2) задовольняє такі три умови:

1) вона визначена і неперервно диференційовна разом з своїми частин­ними похідними в деякому замкненому околі точки ;

2) ;

3)

Тоді рівняння (2) має єдиний розв’язок , визначений і неперервно диференційовний у деякому околі точки , який задо­вольняє початкову умову , і для якого .

Нехай кожне з цих рівнянь має загальний розв’язок

, (5)

або загальний інтеграл , , (6)

де С – довільна стала. Сукупність загальних розв’язків (5) або загаль­них інте­гралів (6) називають загальним інтегра­лом рівняння (2)

Розв’язок рівняння (2), в кожній точці графіка якого виконується умова єдиності розв’язку задачі Коші, називають частинним роз­в’яз­ком цього рівняння.

Особливим розв’язком рівняння (2) називають розв’язок, у кож­ній точці графіка якого порушується властивість єдиності, тобто через кожну точку якого проходить щонайменше дві інтегральні кри­ві, що мають однаковий напрям дотичної.

Рівняння степеня n. Найбільш важливим частковим випад­ком рів­нян­ня (1) є рівняння першого порядку n-го степеня. Так нази­вають рівняння вигляду

(9) де – функції, неперервні у деякій області , причому

Відкидаючи комплексні значення, матимемо диференціальних рівнянь першого порядку, розв’язаних відносно похідної:

(10)

Припустимо, що в кожній точці області G інтегральні кри­ві різних рівнянь (10) не дотикаються одна до одної. Тоді сукупність загальних розв’яз­ків ,

або загальних інтегралів ,

рівнянь (10) є загальним інтегралом рівняння (9). Його можна запи­са­ти також у вигляді

або як


5. Рівняння, які не допускають зниження порядку

Розглянемо диференціальне рівняння

(1)

Якщо ввести нову невідому функцію за формулою

, (2)

то рівняння (1) можна записати у вигляді

(3)

Отримане рівняння (3) має -ий порядок, тобто за допомогою заміни (2) вдалося понизити порядок рівняння (1) на k одиниць.

Припустимо, що розв’язуючи рівняння (3), нам вдалося знайти його загальний розв’язок . Тоді, враховуючи (2), для знахо­дження функції отримуємо рівняння k -го порядку

, (4)

яке розглядалось на лекції 9 (формула (10)). Інтегруючи рівняння (4), одержимо ще k довільних сталих. Таким чином, одержимо

.

Якщо є загальним інтегралом рівняння (3), то при­хо­димо до рівняння вигляду , яке вивчалось раніше (лекція 9, формула (9)). Якщо це рівняння допускає параметричне представлен­ня, то отримаємо загальний розв’язок (у параметричній формі) за допомогою k довільних сталих.


 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.009 сек.)