Особенности оптимального выведения ракеты в поле Шварцшильда

Покажем на основе ряда допущений качественные особенности функции угла тангажа при выведении ракеты, не приводя подробных расчетов. Рассмотрим уравнения (2.3.6) и (2.3.7). Для простоты заменим решение (2.3.8) интегралом энергии в поле Шварцшильда, пренебрегая энергией реактивного поля

, (5.3.1)

где , – радиус начальной круговой орбиты выведения, – угловая скорость ракеты на ней. Обозначим , – реактивное ускорение, для упрощения считаем , что оно действует по касательной к траектории, а угол тангажа совпадает с углом : . Далее, обозначим , , , , где , – некоторые безразмерные координаты; наконец, обозначим первый член в (2.3.6) с учетом (5.3.1) как

, (5.3.2)

где – отношение силы тяжести на начальной орбите к радиусу . Далее примем

, (5.3.3)

пренебрегая вторым членом в (2.3.2), получим окончательно

, (5.3.4)

, (5.3.5)

, (5.3.6)

. (5.3.7)

Далее решается вариационная задача о нахождении функции при заданных граничных условиях, дающих максимум высоты

. (5.3.8)

Задача на условный экстремум с дифференциальными связями решается просто: составляется функция Лагранжа

, (5.3.9)

где – некоторые дифференцируемые функции от . Обратим внимание, что в поле гравитации , таким образом, время (или интервал ) зависит от гравитационного радиуса . Итак, из (5.3.4)¸(5.3.7) имеем

, (5.3.10)

, (5.3.11)

, (5.3.12)

. (5.3.13)

Функционал, максимум которого будем искать, имеет вид

. (5.3.14)

Запишем первую вариацию для

, (5.3.15)

где

.

Экстремальное значение функционала соответствует равенству нулю его первой вариации . Приравнивая нулю множители, стоящие под знаком интеграла перед вариациями , , , , получим систему дифференциальных уравнений для величин , , , и конечные соотношения для

, (5.3.16)

, (5.3.17)

, (5.3.18)

, (5.3.19)

. (5.3.20)

Из последнего уравнения

. (5.3.21)

Решение (5.3.17–5.3.20) имеет вид (для , )

, (5.3.22)

. (5.3.23)

Таким образом, функция (угол тангажа) есть

. (5.3.24)

Из (5.3.24) видно, что угол тангажа в третьей зоне зависит не только от времени удаленного наблюдателя , но и от отношения гравитационного радиуса к радиусу , которая также зависит от времени . Другими словами, зависимость от времени, в отличие от ньютоновского подхода – нелинейная.

5.4. Вопросы устойчивости ракеты (зонда) вблизи “черной дыры”

При подлете к сколлапсированной звезде следует учитывать особенности допустимых орбит. Уже в 1949 году астрофизиком Л.Капланом [22] было доказано, что ближе, чем на три гравитационного радиуса, нельзя подходить к звезде, поскольку не существует устойчивых орбит. Зонд может быть, как было отмечено выше, “поглощен” “черной дырой”, сразу или после многократного вращения, может быть выкинут из орбиты по гиперболе – все зависит от момента количества движения ракеты. Оказывается, устойчивы круговые орбиты , на которых можно изучать характеристики “черной дыры”. Покажем это на примере движения ракеты при воздействии постоянного радиального реактивного ускорения . Из уравнения (2.3.8) следует интеграл

. (5.4.1)

Комбинируя (5.4.1) с интегралом

(5.4.2)

и интегралом

, (5.4.3)

получим при (круговая орбита) для квадрата эффективной энергии

(5.4.4)

.

Дифференцируя (5.4.4) по и приравнивая нулю, получим выражения для минимального значения

; (5.4.5)

видно, что , когда , , а эффективная энергия

. (5.4.6)

, когда , . Дифференцируя (5.4.6), имеем

, , . (5.4.7)

, (5.4.8)

. (5.4.9)

Таким образом, при орбита устойчивая, и траектория ракеты (зонда) должна выбираться выше этого предела.

Поиск по сайту: