Рух частинки в нескінченній глибокій одновимірній потенційній ямі

Припустимо, що частинка може переміщуватись вздовж однієї лише осі від 0 до l, за межі потенціальної ями вона вийти не може, тобто знаходиться в нескінченно глибокій потенціальній ямі (рис. 2.4). Взаємодія зі стінками є пружною, а тому енергія частинки не змінюється і є постійною.

З точки зору класичної механіки частинка може набувати довільних значень енергії. Проте в квантовій механіці частинка має ще й хвильові властивості, що мають сенс у мікросвіті, і їх потрібно враховувати. Іншими словами, ми маємо враховувати саме рівняння Шредінгера. Оскільки частинка має пружну взаємодію, то , а тому:

,

.

Звідси

.

У свою чергу,

.

На це рівняння накладаються конкретні фізичні умови, оскільки розглянута частинка не може покинути потенціальну яму, то для всіх точок межі . З умови неперервності функції ψ випливає, що вона повинна дорівнювати 0 і на межах потенціальної ями. З останнього слідує, що , .

: , , або ;

: , , або ;

тут або , а .

;

;

.

Це є енергія частинки, що знаходиться в нескінченно глибокій потенціальній ямі. Вона має бути пропорційною (рис. 2.5). Тоді енергія, якої набуватиме частинка в мікросвіті, може бути величиною, що квантується, і прийматиме значення, пропорційні , де n − натуральне число.

Розглядаючи залежність , можна знайти ймовірність присутності частинки в певній точці потенціальної ями (рис. 2.6).

Поиск по сайту: