Хвилі де Бройля. Досліди Девісона і Джермера. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга

ІІІ. Змістовий модуль 2

Корпускулярно-хвильовий дуалізм.

Будова атомів та молекул

Теоретичне ядро

Хвильові властивості речовини. Дифракція електронів.

Хвилі де Бройля. Досліди Девісона і Джермера. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга

Йдучи шляхом узагальнення закономірностей явищ природи, французький фізик Луї де Бройль у 1924 році висунув гіпотезу про те, що корпускулярно-хвильовий дуалізм властивий не лише світлу, а й будь-якій рухомій частинці.

Для кількісної характеристики хвилі, пов’язаної з рухомою частинкою, де Бройль скористався залежностями теорії відносності і квантової оптики, які пов’язують хвильові та корпускулярні (маса, імпульс, швидкість) характеристики світла:

; ,

де W – енергія фотона, m_ф – маса фотона, h – стала Планка, с – швидкість світла у вакуумі.

Поширивши ці залежності на рухому частинку речовини, він дістав таке:

; ,

де Е – повна енергія рухомої частинки, m – маса, h – стала Планка, υ – швидкість частинки, n і l – частота і довжина хвилі частинки.

− формула де Бройля.

Чому хвильових властивостей не виявлено у макроскопічних тілах, наприклад у кулі, що летить?

Обчислимо, для прикладу, за формулою де Бройля довжину хвилі для маленької кульки та електрона.

1. Нехай кулька масою 1 г переміщується зі швидкістю 100 м/с:

.

Як бачимо, така мала хвиля виходить далеко за межі тих, якими оперує сучасна фізика. Інакше кажучи, хвильові властивості макроскопічних частинок практично не проявляються.

2. Нехай електрон переміщується зі швидкістю 10⁶ м/с:

.

Така довжина хвилі належить до діапазону рентгенівського випромінювання, отже, перебуває у межах, які дають змогу дослідно перевірити гіпотезу де Бройля.

Відповідь на запитання про хвильові властивості макроскопічних тіл можна дістати, урахувавши особливості формул квантової фізики, а саме: вони всі містять сталу Планка! Це фундаментальна і найголовніша константа квантової фізики!

Якщо характеристики тіла або його руху мають значення набагато більші, ніж стала Планка h, тобто у формулах можна знехтувати значенням h і вважати, що , тоді результати квантової фізики збігаються з висновками класичної фізики. Якщо ж у формулах квантової фізики не можна знехтувати значенням , завжди діставатимемо некласичні результати!

Гіпотезу де Бройля у 1927 році підтвердили досліди Девісона та Джермера.

Досліджуючи відбивання електронного пучка від монокристала нікелю, вони встановили, що пучок відбивається селективно, тобто при деяких кутах падіння та в деяких напрямках дуже сильно, а в інших − дуже слабо.

Пучок електронів, що вилітав з розжареної нитки К, діставав певну швидкість залежно від величини прискорювальної напруги U і потрапляв на монокристал нікелю (рис. 2.1). Відбиваючись від нього під кутом α, пучок електронів потрапляв у циліндричний електрод В, з’єднаний із чутливим гальванометром. Кут α залишався сталим.

Дослід полягав у дослідженні сили струму І, що проходив через гальванометр в залежності від прискорювальної різниці потенціалів U. Дослід показав, що при монотонній зміні прискорювальної напруги сила струму змінюється не монотонно, а дає ряд максимумів (рис. 2.2).

, (*)

де d − стала кристалічної решітки; k − ціле число. Розрахунки показали, що умова (*) точно визначає максимум у відбитому електронному пучку, коли вважати, що

, (**)

де υ − швидкість електронів у пучку.

Якщо в рівність (**) підставити значення швидкості, виражене через прискорюючи напругу, то дістаємо:

; . (***)

Обчислення за останньою рівністю дають такі значення хвиль де Бройля для електронного пучка:

Отже, для наведених прискорюючих напруг хвилі де Бройля для електронного пучка перебувають у діапазоні рентгенівського проміння, тому для виявлення їхньої інтерференції або дифракції потрібно використати кристалічну решітку.

Г. Томсон і незалежно від нього П.С.Тартаковський дістали дифракцію електронів при проходженні електронного пучка через тонку металеву фольгу.

Дифракційна картина на екрані мала вигляд звичайної дифракції електромагнітної хвилі (світла) (рис. 2.3 а, б).

Радянські фізики Біберман, Сушкін, Фабрикант у 1948 році поставили дослід на дифракцію електронів, що виявив хвильові властивості кожного рухомого електрона. Для цього вони використали настільки слабкий електронний пучок, що середній час між проходженнями двох електронів через прилад приблизно в 30000 разів перевищував час проходження через нього одного електрона. Таким чином, кожен електрон проходив через кристалічну решітку незалежно від інших, і при тривалій експозиції дістали таку ж дифракційну картину, як і від інтенсивного електронного пучка.

Відповідно до гіпотези де Бройля стосовно того, що частинки речовини проявляють як хвильові, так і корпускулярні властивості, хвильові властивості електронів знайшли таке практичне застосування: дифракція електронів є найчутливішою методикою у вивченні структури речовини в порівнянні з рентгеноструктурним аналізом; в електронних мікроскопах, завдяки дуже коротким дебройлівським хвилям електронних пучків, досягається дуже висока роздільна здатність, що може бути в сотні тисяч разів більшою, ніж в оптичному приладі.

Як зрозуміти хвилі де Бройля? Щоб дати відповідь на це запитання, розглянемо ще один аспект опису поводження елементарної частинки.

Отже, електрон – це складний матеріальний об'єкт, який має хвильові властивості. Які ж розміри електрона і яку область простору він заповнює, тобто яка локалізація електрона?

Згадаємо, що розуміє під локалізацією точкового об'єкта класична фізика.

1. Матеріальна точка одночасно характеризується певними значеннями координати х та імпульсу :

і .

2. Сукупність послідовних положень точки, яка рухається, утворює певну лінію в просторі – траєкторію руху.

3. Принцип причинності дає змогу визначити положення та імпульс точки на її траєкторії в будь-який наступний момент часу. Якщо відоме значення сили , яка діє на точку в будь-який момент часу, то можна визначити координату та імпульс у наступні проміжки часу :

,

звідки

і .

Спробуємо застосувати такий самий підхід до опису локалізації електрона – хвилі де Бройля. Хвиля являє собою протяжний об'єкт, який заповнює певну область простору, вона не може бути скупчена в одній точці з координатою х. Тому говорити про траєкторію руху хвилі як про лінію немає сенсу! Водночас точно визначити координату та імпульс хвилі де Бройля в принципі неможливо.

Висновок: класичне (п. 1, 2 і 3) тлумачення локалізації електрона в квантовій механіці в принципі незастосовне!

У квантовій механіці для координати x та проекції імпульсу P_x не можна отримати певні фіксовані значення. Ці величини мають будь-які значення лише у відповідних інтервалах: (x; x+Δx) і (p_x;p_x+Δp_x).

У 1927 році Гейзенберг показав, що між вказаними невизначеностями Δx та Δp_x існує таке співвідношення:

; (1)

; (2)

. (3)

Невизначеність координат можна розуміти як інтервали координат, в яких може локалізовуватися частинка.

Невизначеність проекцій імпульсу на осі координат – це інтервали, в яких містяться проекції імпульсу частинки.

Справді, якщо ми застосуємо правила класичної фізики до визначення локалізації хвиль де Бройля, наприклад, вважатимемо, що

, то ,

тобто про місце, де буде локалізовано частинку, нічого сказати не можна. Її з однаковою ймовірністю можна виявити в будь-якій точці простору. Навпаки, якщо

, то .

Отже, значення імпульсу частинки зовсім не визначається.

Висновок: у квантовій фізиці існує принципова межа точності вимірювань. Вона випливає з природи речей, і її не можна перевищити жодним удо­сконаленням приладів і методів вимірювання.

Співвідношення невизначеностей Гейзенберга і встановлюють одну з таких меж.

Розглянемо співвідношення невизначеностей Гейзенберга для часу та енергії:

,

де – невизначеність часу, – невизначеність енергії.

Це співвідношення означає, що чим менший час існування будь-якого стану або час, призначений для його спостереження, тим з меншою певністю можна говорити про енергію цього стану. Навпаки, чим більший цей час, тим з більшою точністю визначається енергія стану. Якщо стан стаціонарний, то він може існувати нескінченно довго. Саме з цієї причини енергія стаціонарного стану має цілком певне значення. Принцип невизначеностей Гейзенберга, сформульований у 1927 році, є важливим кроком в інтерпретації закономірностей мікросвіту і будови квантової механіки.

Зауваження. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга використовують для розв’язування задач квантової механіки, а саме: для оцінювання розмірів атома й атомного ядра; встановлення типу частинок, які утворюють ядро атома; опису руху електрона за різних умов тощо.

Співвідношення невизначеностей Гейзенберга мають межу застосованості: якщо характеристики тіла або його руху мають значення набагато більші, ніж стала Планка , то співвідношення невизначеностей дають висновки класичної фізики.

Поиск по сайту: