Теоретичні відомості. Пошук потрібної прогнозної моделі ведеться в межах двох класів часових рядів: стаціонарних і нестаціонарних

Пошук потрібної прогнозної моделі ведеться в межах двох класів часових рядів: стаціонарних і нестаціонарних. Перевірка стаціонарності та оцінювання наявності тренду в дослідженні часового ряду (ідентифікація тренду) здійснюється за допомогою кількох способів. Стаціонарні ряди не мають тренду або періодичної зміни середнього та дисперсії.

Попередній аналіз часових рядів полягає у виявленні та ліквідації аномальних значень рівнів ряду, а також у визначенні наявності тренду у вихідному часовому ряді. Під аномальним рівнем розуміється окреме значення рівня динамічного ряду, яке не відповідає потенційним можливостям досліджуваної економічної системи. Також аномальним вважається такий рівень, що здійснює суттєвий вплив на значення основних характеристик часового ряду, в тому числі на відповідну трендову модель.

Причинами аномальних спостережень можуть бути помилки технічного характеру, або помилки першого роду. Вони підлягають виявленню та усуненню. Крім того, аномальні рівні часових рядів можуть виникати внаслідок впливу об’єктивних факторів, які однак проявляються епізодично, – це помилки другого роду, що усуненню не підлягають.

Для ідентифікації тренду використовується метод аналізу автокореляції, а для виявлення аномальних рівнів часових рядів – метод Ірвіна. Поширеними методами виявлення тренду є перевірка різниць середніх рівнів і метод Форстера-Стюарта.

Реалізація методу перевірки різниць середніх рівнів складається з наступних кроків.

Крок перший. Вихідний часовий ряд y₁, y₂, y₃,…y_n розділяється на дві приблизно однакові за кількістю рівнів частини: у першій частині n₁ перших рівнів вихідного ряду, у другій – n₂ решта рівнів (n₁+n₂=n).

Крок другий. Для кожної з цих частин розраховуються середні значення і дисперсії:

, (3.1)

, (3.2)

Крок третій. Перевірка однаковості (однорідності) дисперсій обох частин ряду за допомогою F-критерію Фішера:

. (3.3)

Отримане розрахункове значення порівнюється з табличним (критичним) значенням критерію Фішера F_a із заданим рівнем значущості (рівнем помилки) a. Якщо розрахункове значення F-критерію менше за табличне F_a, то гіпотеза про рівність дисперсій приймається і слід перейти до четвертого кроку. Якщо F більше або дорівнює F_a, гіпотеза про рівність дисперсій відхиляється і робиться висновок, що даний метод не має відповіді про наявність тренду.

На четвертому кроці перевіряється гіпотеза про відсутність тренду за допомогою t-критерію Стьюдента. Для цього визначається розрахункове значення критерію Стьюдента за формулою:

, (3.4)

де s – середньоквадратичне відхилення різниць середніх, розраховане за формулою:

. (3.5)

Якщо розрахункове значення t менше за табличне t_a, то нульова гіпотеза не відхиляється, тобто тренд відсутній, інакше тренд в аналізованому динамічному ряді є. Зазначимо, що в даному разі табличне значення t_a береться для числа ступенів свободи, яке дорівнює n₁+n₂-2, при цьому даний метод застосовується тільки для рядів з монотонною тенденцією. Недолік полягає у неможливості правильно визначити існування тренду у випадку, коли часовий ряд містить точку зміни тенденції в середині ряду.

Метод Форстера-Стюарта має більші можливості і дає надійні результати. Крім тренду самого ряду, він дозволяє встановити існування тренду дисперсії часового ряду: якщо тренду дисперсії немає, то розкид рівнів ряду постійний; якщо дисперсія збільшується, то ряд «розхитується». Реалізація методу складає 4 кроки.

Крок перший. Порівнюється кожний рівень вихідного часового ряду y₁, y₂, y₃,…y_n, починаючи із другого рівня, з усіма попередніми, при цьому визначаються дві числові послідовності:

Зауваження: якщо ряд є монотонно зростаючим, то дана послідовність складається виключно з 1, і навпаки, при монотонно убуваючому динамічному ряді послідовність складається з 0.

Зауваження: якщо ряд монотонно убуваючий, то дана послідовність складається виключно з 1, і навпаки, при монотонно зростаючому динамічному ряді послідовність складається з 0.

Крок другий. Розраховуються величини s і d:

, (3.6)

. (3.7)

Неважко помітити, що величина s, яка характеризує зміну часового ряду, набуває значення від 0 (усі рівні ряду однакові або ряд монотонно убуваючий) до n-1 (ряд монотонний зростаючий).

Величина d характеризує зміну дисперсії рівнів часового ряду і змінюється від -(n-1) (ряд поступово спадає) до (n-1) (ряд поступово зростає).

Крок третій. Перевіряється гіпотеза про те, чи можна вважати випадковими:

1) відхилення величини s від m – математичного сподівання величини s для ряду, в якому рівні розташовані випадково;

2) відхилення величини d від нуля.

Ця перевірка проводиться з використанням розрахункових значень t-критерію Стьюдента для середньої і для дисперсії:

, (3.8)

, (3.9)

де m – математичне сподівання величини s для ряду, в якому рівні розташовані випадково;

s₁ – середньоквадратичне відхилення для величини s;

s₂ – середньоквадратичне відхилення для величини d.

Для зручності розраховані табульовані значення величин m, s₁, s₂; фрагмент цих значень подано в таблиці 3.1.

Таблиця 3.1 – Значення m, s1, s2 для розрахунків

Крок четвертий. Розрахункові значення t_s і t_d порівнюються з табличними значеннями t-критерію Стьюдента із заданим рівнем значущості t_a. Якщо розрахункове значення t менше за табличне t_a, то гіпотеза про відсутність відповідного тренду приймається, у протилежному випадку – тренд існує. Наприклад, якщо t_s більше табличного значення t_a, а t_d менше t_a, то для заданого часового ряду існує тренд у середньому, а тренду дисперсії рівнів ряду немає.

Додатково при аналізі динамічного ряду, як вже зазначалося вище, необхідно виявити наявність аномальних рівнів. Для цього використовуються методи, розраховані для статистичних сукупностей.

Метод Ірвіна, наприклад, передбачає використання такої формули:

, (3.10)

яке розраховується для кожного рівня динамічного ряду, за виключенням першого. Середньоквадратичне відхилення, в свою чергу, визначається за формулами:

, (3.11)

. (3.12)

Розрахункові значення l_t, t=2, 3…n порівнюються із табличними значеннями критерію Ірвіна l_a, і якщо вони більше табличних, то відповідне значення y_t рівня ряду вважається аномальним. Значення критерію Ірвіна для рівня значимості a=0,05, тобто із 5%-вою похибкою, наведені в таблиці 3.2.

Таблиця 3.2 – Табличні значення критерію Ірвіна l_a, a=0,05

Після виявлення аномальних рівнів ряду обов’язково необхідно виявити причини їх виникнення. Якщо точно встановлено, що вони обумовлені помилками першого роду, то такі рівні ліквідуються або заміною аномальних рівнів простою середньоарифметичною двох суміжних рівнів ряду, або відповідними значеннями згідно кривої, що апроксимує даний часовий ряд.

Поиск по сайту: