Лекция 2. 2. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей и

2. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей и

Напомним, что при рассмотрении бесконечно больших и бесконечно малых функций мы встретились с неопределенностями:

.

Используя свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций, мы можем раскрывать эти неопределенности.

В дополнении к известным методам нахождения пределов и раскрытия неопределенностей (разложение на множители, метод сопряженных выражений, метод замены, замечательные пределы) приведем здесь простое и удобное правило Лопиталя.

Теорема ( правило Лопиталя ). Пусть дифференцируемые в окрестности точки функции , при совместно стремятся к нулю или бесконечности. Если отношение их производных имеет предел (конечный или бесконечный) при , то отношение самих функций , также имеет предел при , равный .

Данную теорему можно сформулировать в виде следующей схемы:

Если и , то .

Если и , то .

Доказательство. Докажем теорему в некоторых частных случаях.

1) Пусть , , причем , . Докажем, что . Предположим, что . Так как функции , дифференцируемы в точке , то они непрерывны в точке : , . Тогда

.

2) Пусть , (), . Сделаем замену переменной . Тогда при получим . Воспользовавшись результатами пункта 1) (), получим

.

Пример 1. Вычислить пределы:

, , .

Поиск по сайту: