Экстремум функции одной переменной. (второй достаточный признак)

(второй достаточный признак)

Второй достаточный признак точки экстремума функции одной переменной основан на знаке второй производной функции в стационарной точке.

Теорема ( второй достаточный признак точки экстремума). Пусть – стационарная точка функции (то есть ). Тогда:

1) если , то – точка минимума функции ;

2) если , то – точка максимума функции .

Пример 1. Найти для функции

точки экстремума, используя второй достаточный признак точки экстремума.

Решение. Производная первого порядка функции имеет вид

.

Применяя необходимое условие точки экстремума, получим две стационарные точки функции:

, .

Производная второго порядка функции имеет вид

.

Находим значения производной второго порядка в точках , :

Так как , то точка есть точка минимума функции; , то точка есть точка максимума функции.

Пример 2. Найти для функции

точки экстремума, используя второй достаточный признак точки экстремума.

Решение. Вычисляем производную первого порядка функции

.

Применяя необходимое условие точки экстремума, получим стационарную точку функции:

.

Вычисляем производную второго порядка

.

Находим значение производной второго порядка в точке :

.

Так как , то точка есть точка минимума функции.

Лекция 5