Основные теоремы дифференциального исчисления

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Математический анализ»

для направления 080100 «Экономика»

Рязань 2012

Тема 4. Приложения дифференциального

исчисления функции одной переменной

Лекция 1

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема 1 (Ферма). Если функция определена в окрестности точки , принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) значение и в точке существует конечная производная , то обязательно .

Доказательство. Пусть для определенности – наибольшее значение функции в окрестности точки (напомним, что под окрестностью точки понимается некоторый достаточно малый интервал, серединой которого является сама точка ). Тогда при всех из этой окрестности:

,

следовательно, при

, (1.1)

а при

. (1.2)

Из (1.1), (1.2) следует, что . Теорема доказана.

Геометрически теорема Ферма означает, что если в точке функция принимает наибольшее или наименьшее значение и в этой точке существует конечная производная , то касательная, проведенная к графику функции через точку с абсциссой , параллельна оси абсцисс (см. рис).

Действительно, ведь в этом случае, согласно геометрическому смыслу производной функции в точке ( есть угол наклона касательной к оси абсцисс).

Теорема 2 (Ролля). Если функция определена и непрерывна в отрезке , дифференцируема на интервале и принимает равные значения на концах промежутка, то существует точка , что .

Доказательство. По свойству непрерывных функций принимает на наибольшее и наименьшее значения.

Если , то (функция постоянна на отрезке ), следовательно, (точка - любая точка из интервала ).

Пусть . Так как , то, по крайней мере, одно из значений (М или m) достигается в некоторой точке интервала (см. рис). Тогда на основании теоремы Ферма, .

Замечание. Если хотя бы одно из условий теоремы не выполняется, то теорема несправедлива. Например, функция () удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, кроме дифференцируемости в точке , и теорема Ролля несправедлива.

Теорема 3 (Лагранжа). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке и имеет конечную производную на интервале . Тогда существует точка такая, что выполняется равенство

.

Доказательство. Введем в рассмотрение вспомогательную функцию

. (1.3)

Эта функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , причем , так как

,

Значит, функция (1.3) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует точка такая, что

,

откуда . Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы очевиден из рисунка. Касательная к кривой в точке имеет угловой коэффициент

.

Поиск по сайту: