Экстремум функции одной переменной

(первый достаточный признак)

Согласно предыдущему вопросу для нахождения точек экстремума функции сначала необходимо найти точки, подозрительные на экстремум. Однако не все точки возможного экстремума на самом деле будут являться точками экстремума (необходимое условие точки экстремума не является достаточным условием). Рассмотрим в этом вопросе первый достаточный признак экстремума.

Теорема ( первый достаточный признак точки экстремума). Пусть – точка, подозрительная на экстремум функции . Тогда:

1) если при : , при : , то точка – точка максимума функции ;

2) если при : , при : , то точка – точка минимума функции .

Справедливость теоремы следует из предыдущих теорем. Если при : , то на интервале функция строго возрастает, если при : , то на интервале функция строго убывает, а это значит, что точка – точка максимума функции.

Другими словами, если в точке производная и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «+» на «–» (соответственно с «–» на «+»), то – точка максимума функции (соответственно точка минимума функции ).

Пример 1. Исследовать функцию на экстремум:

.

Решение. Производная этой функции имеет вид (см. предыдущий вопрос, )

.

Точками возможного экстремума (они стационарные точки) являются

, .

Исследуем знаки производной по методу интервалов. Всю числовую ось разбиваем на четыре интервала точками 0, 1, 2 (см. рис). На каждом из получающихся интервалов берем по одной точке и подставляем в производную:

, ,

, .

Знак производной в конкретной точке показывает знак производной на всем интервале, из которого взята данная точка. Например, так как , то на всем интервале производная положительна, а значит, сама функция строго возрастает.

Из метода интервалов следует, что функция строго возрастает при , строго убывает при .

Согласно первому достаточному признаку точки экстремума – точка максимума (, ), – точка минимума (, ).

Пример 2. Исследовать функцию на экстремум:

.

Решение. Область определения функции . Производная функции имеет вид (см. предыдущий вопрос)

Точками возможного экстремума являются (см. предыдущий вопрос):

(стационарная точка, ),

, (в этих двух точках не существует конечной производной).

Для ответа на вопрос о точках экстремума воспользуемся первым достаточным признаком. При этом заметим, что знаменатель

дроби производной при всех значениях положителен. А значит, знак производной определяется знаком числителя. Применяя метод интервалов, получим (см. рис), что точка является точкой минимума функции (, ). Точки , не являются точками экстремума, так как при переходе через каждую из этих точек производная не меняет своего знака.

Поиск по сайту: