Приложения дифференциального исчисления функции одной переменной к исследованию функции и построению ее графика

Приведем общий план исследования функции:

1). Область определения функции, область значений функции.

2). Непрерывность, точки разрыва (их классификация).

3). Четность, нечетность функции.

4). Асимптоты графика функции (вертикальные, наклонные, горизонтальные).

5). Интервалы монотонности функции, точки экстремума.

6). Интервалы выпуклости функции, точки перегиба.

7). Контрольные точки (пересечение с осями координат, значения функции в точках экстремумов, точках перегиба, другие удобные точки).

8). Построение графика.

Пример 1. Исследовать функцию, построить ее график:

.

Решение. 1). Область определения (функция – многочлен, определенный при всех значениях независимой переменной ), область значений (график полностью расположен выше оси ординат).

2). Функция непрерывна на всей области определения как произведение степенных функций, непрерывных при всех . Точек разрыва у функции нет.

3). Функция общего вида, так как и .

4). График функции не имеет вертикальных асимптот, так как функция непрерывна. График функции не имеет наклонных и горизонтальных асимптот, так как коэффициент

.

5). Исследуем функцию на монотонность. Находим первую производную

.

Точками, подозрительными на экстремум, являются

, , .

Убеждаемся, что:

, при ,

, при ,

, при ,

, при .

Имеем следующие три точки экстремума:

(точка минимума),

(точка максимума),

(точка минимума).

6). Исследуем функцию на выпуклость. Находим вторую производную

.

Точки, подозрительные на перегиб, находятся из условия

.

Находим эти точки (округляем до сотых):

,

.

Нетрудно установить, что при : (функция выпукла вниз), при : (функция выпукла вверх), при : (функция выпукла вниз). Значит, точки , являются точками перегиба графика функции.

7). Находим точки пересечения графика функции с осями координат: при , .

Учитывая точки экстремума и точки перегиба, получаем следующие контрольные точки графика функции: (минимум), (максимум), (минимум), , (перегибы графика).

8). По полученным данным строим график функции (см. рис. 1).

Рис. 1

Пример 2. Исследовать функцию, построить график:

.

Поиск по сайту: