Горизонтальные асимптоты графика функции

Определение 1. Прямая () называ ется правой горизонтальной асимптотой к графику функции , если расстояние от этой прямой до графика функции стремится к нулю при .

Определение 2. Прямая () называется левой горизонтальной асимптотой к графику функции , если расстояние от этой прямой до графика функции стремится к нулю при .

Согласно определению, расстояние от горизонтальной асимптоты до графика функции должно стремиться к нулю при удалении точек графика этой функции от начала координат.

Можно показать, что прямая () является правой горизонтальной асимптотой к графику функции , если выполняется условие

, (11.1)

а прямая () является левой горизонтальной асимптотой к графику функции , если выполняется условие

. (11.2)

Если для графика функции правая и левая горизонтальная асимптоты совпадают, то говорят, что график функции имеет горизонтальную асимптоту.

Рассмотрим горизонтальные асимптоты для графиков некоторых простейших элементарных функций.

Степенная функции вида имеет горизонтальную асимптоту (ось абсцисс), так как

К примеру, на рис. 11.1 изображены графики функций (красный цвет), (синий цвет).

Рис. 11.1

График функции (см. рис. 11.2) имеет правую горизонтальную асимптоту (красная прямая) и левую горизонтальную асимптоту (синяя прямая), так как

.

Рис. 11.2

Дробно-рациональная функция

,

где имеет горизонтальную асимптоту, если , причем в случае горизонтальной асимптотой является прямая , а в случае горизонтальной асимптотой является прямая (ось абсцисс).

Пример 1. Написать уравнение горизонтальной асимптоты к графику функции: 1) , 2) .

Решение. 1)Дляграфикапервой функции горизонтальной асимптотой будет являться прямая , так как

, .

2)Дляграфикавторой функции горизонтальной асимптотой будет являться прямая (ось абсцисс), так как

, .

Пример 2. Выяснить, имеет ли график функции правую (левую) горизонтальную асимптоту.

Решение. Выясним, имеет ли график функции правую горизонтальную асимптоту. Вычисляем предел функции на :

.

Так как не является конечным пределом, то график функции не имеет правую горизонтальную асимптоту.

Вычисляем предел функции на :

.

Полученную ситуацию неопределенности снимаем с помощью правила Лопиталя, предварительно создав дробь:

.

Полученный предел показывает, что прямая является левой горизонтальной асимптотой к графику функции.

График функции представлен на рис. 11.3 (левая горизонтальная асимптота к графику функции проведена красным цветом).

Рис. 11.3

Лекция 7