Признаки монотонности функции одной переменной

Определение 1. Функция является строго возрастающей ( строго убывающей ) на интервале , если при всех таких, что выполняется неравенство (соответственно ).

Определение 2. Функция является постоянной на интервале , если при всех выполняется ( – некоторое число).

Теорема 1 ( Необходимый признак монотонности, постоянства функции). Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда:

1) если функция строго возрастает (строго убывает) на интервале , то при всех : (соответственно );

2) если функция постоянна на интервале (, ), то при всех : .

Доказательство. Рассмотрим строго возрастающую на интервале функцию . Покажем, что при всех : . Составим для функции приращение таким образом, чтобы точка . Приращение аргумента или (рассмотрим по отдельности эти два случая).

а) Если , то . Так как функция строго возрастает на , то и производная .

б) Если , то . Функция строго возрастает на и . Тогда производная .

В двух случаях относительно знаков приращения производная строго положительна, что доказывает теорему для случая строго возрастающей функции. Доказательство теоремы для строго убывающей функции проводится аналогично.

Если функция является постояннойна : ( – некоторое число), то по правилу дифференцирования .

Приведенная теорема дает следующую геометрическую трактовку. Если дифференцируемая функция строго возрастает (строго убывает) на интервале, то касательная, проведенная в любой точке графика функции, наклонена к положительному направлению оси абсцисс под острым углом (соответственно под тупым углом ).

Теорема 2 (Достаточный признак монотонности, постоянства функции). Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда:

1) если при всех : (соответственно ), то функция строго возрастает (строго убывает) на интервале ;

2) если при всех : , то функция постоянна на интервале ().

Доказательство теоремы проводится таким же способом, как доказательство теоремы 1.

Пример. Найти для функции

интервалы монотонности (интервалы возрастания и убывания).

Решение. Для функции находим производную

.

Воспользуемся теоремой 2. Определим интервалы монотонности, на каждом из которых производная больше нуля () или меньше нуля (). Чтобы найти эти интервалы, необходимо на числовую ось нанести точки, в которых производная обращается в нуль (так называемые нули производной). Находим эти точки:

, .

Вся числовая ось разобьется на некоторое количество интервалов, на каждом из которых производная обязательно не меняет свой знак ( или ). В нашем случае это интервалы:

, , .

Это и будут интервалы монотонности. Чтобы узнать, возрастает или убывает функция на данном интервале, достаточно выяснить, какой знак имеет производная в какой-либо точке этого интервала.

Знаки функции исследуем методом интервалов:

, значит, при и функция монотонно убывает,

, значит, при и функция монотонно возрастает,

, значит, при и функция монотонно убывает.

Поиск по сайту: