Условие выпуклости функции одной переменной

Пусть – функция, которую будем считать дифференцируемой на некотором интервале . График этой функции назовем кривой.

Определение 1. Дуга кривой называется выпуклой, если она целиком лежит по одну сторону от касательной, проведенной в любой точке дуги этой кривой.

Если дуга кривой выпуклая, то ее выпуклость обращена либо вниз (рис. 1), либо вверх (рис. 2). Дуга кривой, обращенная выпуклостью вниз (), называется выпуклой вниз (график функции полностью расположен над касательной, проведенной в любой точке графика). Дуга кривой, обращенная выпуклостью вверх (), называется выпуклой вверх (график функции полностью расположен под касательной, проведенной в любой точке графика функции).

Рис.1 Рис. 2

Понятие выпуклости функции можно связать с производной этой функции. Пусть функция является выпуклой вниз на интервале (рис. 1). Проведем через точку касательную к графику этой функции. Уравнение этой касательной имеет вид

,

где – ордината точки касательной (). При всех ордината графика функции больше ординаты касательной:

,

так как график функции на интервале лежит полностью над касательной. Значит, для функции , выпуклой вниз на интервале обязательно выполняется условие

, при всех .

Аналогично для функции , выпуклой вверх на интервале

, при всех .

Следующая ниже теорема дает условие выпуклости функции на интервале.

Теорема (достаточный признак выпуклости функции на интервале). Пусть функция трижды дифференцируема на интервале . Тогда:

1) если при всех : , то функция выпукла вниз на интервале ;

2) если при всех : , то функция выпукла вверх на интервале .

Пример. Исследовать функцию на выпуклость:

.

Решение. Находим последовательно производные первого и второго порядков функции:

, .

Применим достаточный признак выпуклости функции. Очевидно, что на интервалах производная второго порядка положительна, то есть на этих интервалах функция выпукла вниз. На интервале второго порядка отрицательна, а значит, функция выпукла вверх. Соответствующая диаграмма метода интервалов представлена на рисунке.

Поиск по сайту: