Решение. 1) Вычисляем предел, применяя правило Лопиталя до тех пор, пока не исчезнет неопределенность вида :

1) Вычисляем предел, применяя правило Лопиталя до тех пор, пока не исчезнет неопределенность вида :

.

2) Вычисляем предел по правилу Лопиталя до исчезновения неопределенности:

.

Рассмотрим применение правила Лопиталя для раскрытия дополнительных видов неопределенностей

, , , , .

Неопределенность встречается в пределах вида

,

когда , . Для раскрытия этой неопределенности достаточно применить следующую схему (создать искусственно дробь в пределе)

.

В результате получим неопределенность , которая раскрывается по правилу Лопиталя.

Пример 3. Вычислить предел .

Решение. Здесь имеем неопределенность вида . Сведем ее к неопределенности :

Неопределенность встречается в пределах вида

,

когда . Для раскрытия этой неопределенности достаточно применить следующую схему (создать искусственно дробь в пределе)

.

В результате получим неопределенность , которая раскрывается по правилу Лопиталя.

Пример 4. Вычислить предел .

Решение. В данном случае , , , . При оценке предела имеем неопределенность . Создадим дробь в пределе, для чего приведем функции , к общему знаменателю:

.

Оценивая полученный предел, имеем неопределенность (проверьте!). Тогда можно применить правило Лопиталя (несколько раз):

.

Степенно-показательные неопределенности , , встречается в пределах вида

.

Рассмотрим неопределенность , когда , . Чтобы раскрыть данную неопределенность требуется применить правило логарифмирования

.

Если обозначить

,

то получим неопределенность , которую можно раскрыть по правилу Лопиталя. Тогда ответ необходимо записать в виде .

По данному правилу можно легко удостовериться в справедливости второго замечательного предела (проверьте!).

Пример 5. Вычислить предел .

Решение. В данном случае , , , . Для раскрытия неопределенности вычислим предел :

.

Последний полученный предел упрощаем и вычисляем по правилу Лопиталя (раскрываем неопределенность вида ):

.

В итоге ответ записываем в виде .

Лекция 3