Решение. 1). Область определения , область значений

1). Область определения , область значений .

2). Функция непрерывна на как композиция функций: , , , , непрерывных при . Исследуем поведение функции в точке возможного разрыва (вычисляем односторонние пределы):

,

.

Имеем неопределенность вида . Воспользуемся правилом Лопиталя

.

Найденные пределы показывают, что – точка разрыва второго рода.

3). Функция общего вида, так как и .

4). Прямая – вертикальная асимптота (так как – точка разрыва второго рода).

Находим наклонную асимптоту:

, ,

(воспользовались эквивалентностью , так как ).

Итак, прямая – наклонная асимптота на (аналогично можно показать, что прямая – наклонная асимптота на ).

5). Первая производная функции равна

.

Знак производной зависит от знака выражения . Методом интервалов непосредственно убеждаемся, что функция монотонно возрастает при

,

монотонно убывает при .

Точка – точка минимума (, на графике точка ).

6). Вычисляем вторую производную от функции :

.

Очевидно, что при (функция выпукла вверх), при (функция выпукла вниз), функция не имеет точек перегиба.

7). Контрольные точки: нет пересечений ни с одной из осей координат, на графике функции отмечаем точку минимума .

8). Для построения графика составим сводную таблицу.

Значения
Характер монотонности	↑	–	↓	min	↑
Характер выпуклости		–
Значения функции		Разрыв 2-го рода, ,

График функции изображен на рис. 3.

Рис. 3

Поиск по сайту: