 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Понятие статистической процедуры оценивания параметров эконометрической модели. Линейные статистические процедуры. Требования к наилучшей статистической процедуре
Пусть имеется выборка
значений переменных x и y модели
Данная выборка получена на этапе наблюдения и предназначена для оценивания параметров модели
В рамках данной модели величины (*) связаны следующей СЛОУ:
Она называется системой уравнений наблюдения объекта в рамках исследуемой линейной модели, или иначе – схемой Гаусса-Маркова. Вот компактная запись этой схемы 
.
где 
- вектор известных значений эндогенной переменной yt модели;
- вектор неизвестных значений случайных возмущений ut;
- матрица известных значений предопределенной переменной x исходной модели, расширенная столбцом единиц (при наличии a0);
Наконец, 
– вектор неизвестных коэффициентов уравнения модели.
Оценку вектора обозначим 
. Тот факт, что эта оценка вычисляется по выборочным данным при помощи некоторой статистической процедуры, отразим: 
где f (·, ·) – символ процедуры.
Данная процедура именуется линейной относительно вектора 
значений эндогенной переменной yt, если: 
.
, где матрица коэффициентов, зависящих только от выборочных значений X предопределенной переменной хt.
Класс таких всевозможных линейных процедур оценивания по исходной выборке вектора 
обозначим символом F.
Наилучшая процедура f* (·, ·) из выбранного класса процедур F должна генерировать оценку 
, которая обладает одновременно двумя свойствами: ожидаемая оценка параметра совпадает с истинным значением
, i=0,1 (эффективности).
29.Свойства МНК-оценок параметров линейной модели множественной регрессии (ЛММР) при нормальном векторе случайных остатков: независимость случайных векторов 
Рассмотрим с учётом схемы Гаусса-Маркова в компактной форме и 
случайный вектор истинной ошибки оценки 
: (1)
или в компактном виде 
Видно, что вектор 
является выходом линейного преобразования вектора 
. Следовательно, вектор 
имеет нормальный закон распределения с числовыми характеристиками
.
Значит, и вектор 
является нормально распределённым случайным вектором с числовыми характеристиками 
.
Теперь рассмотрим вектор 
Подставим в это выражение (1) 
(2)
или в компактной записи 
Согласно (2) вектор тоже является выходом линейного преобразования вектора . Следовательно, и вектор имеет нормальный закон распределения. Его числовые характеристики
Для доказательства независимости нормально распределенных случайных величин 
необходимо и достаточно доказать, что эти векторы некоррелированны, т.е. что их взаимная ковариационная матрица нулевая: 
30.Свойства МНК-оценок параметров линейной модели множественной регрессии (ЛММР) при нормальном векторе случайных остатков: закон распределение оценки 
.
(Внимание: нумерация формул идёт не по порядку)
Так как вектор случайных остатков имеет нормальный закон распределения, то и нормально распределённым будет случайный вектор 
. (8.86) Компоненты этого вектора имеют количественные характеристики
Образуем из этих компонент независимые стандартные нормально распределённые случайные переменные 
(8.90)
Рассмотрим величину 
(
- это эффективная линейная несмещенная оценка, обладающая свойством наименьших квадратов), она зависит от выборки 
, а значит, является случайной переменной.
Начнем с оценки вектора случайных остатков 
(8,79)
Представим этот вектор как выход линейного преобразования вектора 
. Для этого подставим в правую часть 8,79 правую часть 
и приведем подобные члены:
Здесь приняли обозначение 
Теперь, в правую часть предпоследнего равенства подставляем правую часть 
и, раскрывая скобки, получаем искомое преобразование:
(8,81)
В компактном виде получаем 
(8.81’)
С учетом 8,81 находим значение квадратичной формы 
(
)
(8.82)
С учётом (8.82) и (8.86) получим
(8.89)
С учётом (8.89) и (8.90) получим:
(8.91)
Это значит, что при нормально распределённом векторе случайных остатков в схеме Гаусса-Маркова квадратичная форма (8.91) является случайной переменной, распределённой (с точностью до множителя 
) по закону хи-квадрат с количеством степеней свободы К+1. Ч учётом этого утверждения, находим, что 
(8.92)
В силу (8.92) оценка дисперсии единицы веса тоже имеет с точностью до множителя закон распределения хи-квадрат с количеством степеней свободы n-(k+1):
31. Свойства МНК-оценок параметров линейной модели множественной регрессии (ЛММР) при нормальном векторе случайных остатков: закон распределения дроби 
.
- стандартная ошибка (оценка среднего квадратического отклонения) компоненты 
. Докажем, что случайная переменная 
(8.107)
имеет закон распределения Стьюдента с количеством степеней свободы n-(k+1), т.е.
(8.108)
Доказательство.
Разделим числитель и знаменатель дроби (8.107) на константу 
.
Учитывая (из 30-го вопроса), получим:
(8.109)
Здесь символом 
обозначена стандартная нормально распределённая случайная переменная.
- дробь Стьюдента с n степенями свободы (7.47)
С учётом (7.47) и (8.109) получим представление (8.108)
Поиск по сайту: