Моделі парної лінійної регресії

Економічна теорія виявила й дослідила значну кількість сталих i стабільних зв’язків між різними показниками. Наприклад, добре вивчено залежності споживання від рівня доходу, попиту - від цін на товари, залежність між процентною ставкою та інвестиціями, обмінним курсом валюти та обсягом чистого експорту, мiж рiвнями безробiття та iнфляції, залежнiсть обсягу виробництва вiд окремих факторів (розмiру основних фондiв, їх віку, пiдготовки персоналу тощо); залежнiсть мiж продуктивнiстю працi та piвнем механiзації, а також 6агато iнших залежностей.

Зде6iльшого залежність між показниками можна відобразити за допомогою лінійних співвідношень.

Наприклад, для моделювання залежності індивідуального спожи­вання С від наявного прибутку У Кейнс запропонував лінійне рівняння

де с_о - величина автономного споживання; b - гранична схильнiсть до споживання (0<b£1).

Однак припущення щодо лiнiйної залежностi мiж певними показ­никами економiчного явища чи процесу може не пiдтверджуватися даними спостережень цих показникiв. І це природно, оскiльки в дея­ких випадках залежність є суттєво нелiнiйною. Наприклад, залеж­ність між рівнем безробіття х i рівнем інфляції у відображається так званою кривою Фiлiпса:

де а > 0, b > 0 - параметри моделi, а змiннi х i у вимiрюються у процентах.

При незмінний річний дисконтній (обліковій) ставці r i початковому внеску а через х років у банку наявна сума грошей об­числюватиметься за формулою

де а, у - параметри моделі.

При маркетингових i ринкових дослiдженнях, при дослiдженнi збуту продукції та в демографії застосовують так звану криву Гомперця:

де параметри а та с можуть набувати будь-яких значень, а b перебу­ває: в таких межах: 0 < b < 1.

Зв'язок мiж обсягом виробленої продукцiї у та основними вироб­ничими ресурсами, а саме обсягом витраченого капiталу С i обсягом витрат працi L, також має нелiнiйний характер:

а, b, с, d - числовi параметри; с, d > 0, а, b³ 0.

Нелiнiйнi зв'язки, як правило, певними перетвореннями (заміною змінних чи логарифмуванням) зводять до лінійного вигляду або ап­роксимують (наближують) лiнiними функцiями.

Отже, модель лiнійної perpeciї (лiнiйне рiвняння) єнайпошире­нiшим (i найпростiшим) видом залежностi мiж економiними змiнни­ми. Kpiм того, побудоване лiнiйне рiвняння може слугувати початковою точкою в разi складних (суттєво нелiнiйних) залежностей.

У загальному випадку nарна лінійна регресія є лінійною функцією мiж залежною змінною У i однiєю пояснюючою змінною Х:

Це спiввiдношення називається теоретичною лінійною регресiйною моделлю а₀ i а₁ - теоретичні параметри (теоретичні коефіцієнти) peгpeciї.

Зазначимо, що принциповою в цьому разі є лiнiйнicть за парамет­рами а₀ i а₁.

Щоб визначити значення теоретичних коефiцiєнтiв регресії, необхідно знати й використовувати вci значення змінних Х i У генеральної сукупності, що практично неможливо. Тому за вибiркою обмеже­ного обсягу будують так зване емпіричне рівняння peгpecii, у якому коефіцієнтами є оцінки теоретичних коефiцiєнтiв регресії:

де —оцінки невідомих параметрів а₁ i а₀.

Через розбіжність статистичної бази для генеральної сукупності та вибірки оцінки практично завжди відрізняються від дійсних значень коефiцiєнтiв а₁ i а_{0 ,} що призводить до розбіжності емпіричної та теоретичної ліній регресії.

Рiзнi вибiрки з однiєї й тієї самої генеральної сукупнoстi звичайно зумовлюють рiзнi оцiнки.

Можливе спiввiдношення мiж теоретичним i емпiричним рiвнян­нями регресії схематично зображено на рис. 2.

Задачі лінійного регресiйного аналізу полягають у тому, щоб за наявними­ статистичними даними для змiнних Х i У:

а) отримати найкращі оцінки невідомих параметрів а₁ i а_{0 ;}

б) перевірити статистичні гіпотези про параметри моделі;

в) перевірити, чи досить добре модель узгоджується зi статистич­ними даними (адекватність моделі даним спостережень).

Для відображення того факту, що кожне індивідуальне значення y_i відхиляється від відповідного умовного математичного сподівання, у модель уводять випадковий доданок u_i:

Отже, iндивiдуальнi значення y_i; подають у вигляді суми двох компонент - систематичної (а_о + а₁х_i;) i випадкової (и_i).

Таким чином, регресiйне рівняння набуває вигляду

Завдання полягає в тому, щоб за конкретною вибiркою знайти такі значення оцiнок невiдомих пapaметрів а₁ i а₀, щоб побудована лiнiя регресiї була найкращою в певному розумiнні серед ycix iнших прямих. Іншими словами, побудована пряма має бути "найближчою" до точок спостережень за ix сукупнiстю.

Мiрою якостi знайдених оцiнок можуть бути визначені композиції вiдхилень . Наприклад, коефіцієнти а₁ i а₀ рiвняння регресії можуть бути оцінені за умови мiнiмiзації однієї з таких сум:

1).

2).

3). .

Однак перша сума не може бути мірою якостi знайдених оцінок через те, що існує безліч прямих (зокрема, ), для яких .

Метод визначення оцінок коефiцiєнтiв за умови мiнiмiзацiї дру­гої суми називається методом найменших модулів (МНМ).

Найпоширенішим i теоретично обґрунтованим є метод визначення коефiцiєнтiв, при якому мiнiмiзується третя сума. Biн дістав на­зву методу найменших квадратів (МНК).

Останнiй метод оцiнювання параметрiв найпростiший з обчис­лювальної точки зору. Kpiм того, оцiнки коефiцiєнтiв регресії, знайденi за МНК при визначених передумовах, мають ряд опти­мальних властивостей (незмiщенiсть, ефективнiсть, обгрунто­вaнicть).

Серед iнших. методiв визначення оцiнок коефiцiєнтiв регресії ви­окремимо метод моментiв (ММ) i метод максимальної правдоподiбностi (ММП).

Поиск по сайту: