Коэффициент детерминации в парной регрессионной модели

Линейная парная регрессионная модель используется для описания взаимосвязи двух переменных Y и X, если имеется предположения, что между ними существует линейная стохастическая зависимость: y=a+bx+ε, где а и b – параметры модели (постоянные неизвестные коэффициенты); Х- независимая переменная; Y— зависимая переменная; ε - случайная переменная (возмущение, ошибка), возникающая из-за влияния различных неучтенных факторов.

Уравнение для отдельных наблюдений зависимой переменной Y записывается в виде: y_t=a+bx_t+ε_t

где Х_tY_t, - набор данных (наблюдений), t = 1, 2,..., n;

X_t – экзогенная переменная модели); ε_t - случайная ошибка в наблюдении t.

Если отклонение зависимой переменной Y_t, от ее выборочного среднего значения представить в виде суммы двух отклонений:

и выборочную дисперсию var(Y) можно представить в виде двух частей:

Часто это уравнение записывают так:

TSS = ESS + RSS,

где TSS = var(Y) – полная дисперсия (общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от ее выборочного значения);

ESS = Σ(Y_t-Ŷ_t)² – часть дисперсии, необъясненная регрессией (т.к. она содержит ошибки регрессии ε_t);

- часть дисперсии, объясненная регрессией (объясненная сумма квадратов отклонений).

Качество подгонки регрессионной модели к наблюденным значениям Y_t оценивается при помощи статистики R² (коэффициента детерминации).

Коэффициент детерминации определяется по формуле

R² = 1-ESS / TSS = RSS / TSS; 0≤R²≤1

Чем ближе значение коэффициента детерминации к 1, тем лучше качество подгонки и прогноз Ŷ более точно аппроксимирует Y.

Для проверки значимости коэффициента детерминации используется F-статистика:

где k - число независимых переменных.

Связь между статистиками F и R² для случая парной регрессии (k = 1) имеет вид

17 .F -тест качества спецификации парной регрессионной модели.

F-тест - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Н₀о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_табл значений F-критерия Фишера. F_факт определяется как

гдуn — число единиц совокупности;

m- число параметров при переменных х

F_табл – это максимально возможное значение критерия под влия­нием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости а. Уровень значимости а - вероятность отвергнуть пра­вильную гипотезу при условии, что она верна.Обычноа принимает­ся равной 0,05 или 0,01.

Если F_табл<F_факт, то Н₀ - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если F_табл>F_факт, то гипотеза Н₀не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Поиск по сайту: