Доверительные интервалы параметров парной регрессионной модели

При построении интервальных оценок используются специальные статистики с известным распределением. Для построения доверительных интервалов параметров парной регрессионной модели aи b формируются t-статистики, включающие вспомогательные случайные величины:

Добавим к предпосылкам классической регрессионной модели предпосылку нормального распределения случайного возмущения тогда статистика V имеет распределение , а статистики нормально распределены.

Из нормальности распределения возмущений следует нормальность совместного распределения выборочных данных Y_t, (t=1,…,n), а т.к. МНК-оценки коэффициентов регрессии a^ и b^ являются линейными функциями Y_t, то их совместное распределение также является нормальным, и a^ - N(a, σ_a^^2), b^ - N(b, σ_b^^2).

Распределения ошибок оценок параметров: b-b^ - N(0, σ_b^^2), a-a^ - N(0, σ_a^^2), действительно

E(a-a^)=a-E(a^)=0, E(b-b^)=b-E(b^)=0, т.к. МНК – оценки b^ и a^ являются несмещенными. Дисперсии: Var{a-a^}=Var{a^}= σ_a^^2, Var{b-b^}=Var{b^}= σ_b^^2.

Следовательно, случайные величины Z_b=(b-b^)/ σ_b^ и Z_a=(a-a^)/ σ_a^ имеют нормальное распределение с нулевым матем. ожиданием и единичной дисперсией Z_a – N(0,1), Z_b – N(0,1).

Статистика, сформированная по правилу t=Z/ √V/k, где Z – стандартная нормальная случайная величина, а V – независимая от Z величина, распределенная по закону хи-квадрат с k степенями свободы, имеет t-распределение (Стьюдента) с параметром k. Таким образом, случайные величины tb=Zb/√V/(n-2) = Zbσ/√Σet^2/(n-2) = Zbσ/√s^2 = ((b-b^)σ)/ σb^*s,

ta= Za/√V/(n-2) = Zaσ/√Σet^2/(n-2) = Zaσ/√s^2 = ((b-b^)σ)/ σa^*s.

Представляют собой t-статистики с параметром n-2. Преобразуем выражения для данных статистик к виду, удобному для вычисления. В силу того что σb^/σ=sb^/s и σa^/σ=sa^/s, значения t-статистик удобно вычислять по формулам:

t_b=(b-b^)/s_b^, t_a=(b-b^)/s_a^, где s_b^^2=s^2/Σx_t^2, s_a^^2=s^2 * ΣX_t^2/nΣx_t^2.

Выражения представляют собой нормированные ошибки оценок параметров и называются дробью Стьюдента. Дробь Стьюдента имеет распределение Стьюдента с (n-2) степенями свободы. Задаваясь некоторым уровнем значимости α, по таблицам t-распределения можно определить критическое значение статистики t_кр и, применяя стандартную процедуру, построить доверительный интервал, который с доверительной вероятностью 1-α накрывает значение статистики t:

P{/t/<t_кр}=2∫₀^taS(t,v)dt=P{-t_кр<t<t_кр}=1-α, где S(t,v) – плотность распределения Стьюдента, t_кр – табличное значение статистики Стьюдента для данной степени свободы v=n-2 и уровня значимости α.

Поиск по сайту: