Сглаживание временных рядов методом скользящей средней

Сглаживание временного ряда выполняется для выделения тренда по выбранному числу членов ряда m.

Для этого используется метод наименьших квадратов, с помощью которого по т членам ряда строятся полиномы выбранной степени р, начиная с первого и т.д. членов ряда. Степень полинома и число точек сглаживания выбираются из общих соображений (включая сущность решаемой задачи) и подбора степени по пробным кратковременным прогнозам.

Новое сглаженное значение временного ряда в средней точке из m заданных находится как линейная комбинация старых m значений ряда с коэффициентами, зависящими от степени полинома.

Если сглаживание ряда осуществляется по m = 5 точкам, то для р =1 (линейное сглаживание) новое сглаженное значение уровня ряда вычисляется по формуле

, (5)

где - заданное и новое, сглаженное значения уровня ряда ( t =3, 4,..., n -2).

Для р = 2, (квадратичное сглаживание) новое сглаженное значение уровня ряда вычисляется по формуле

. (6)

Для вычисления сглаженных первых и последних (т -1)/2 значений ряда (при m =5 вычисляются два первых и два последних члена) используются следующие формулы:

при р =1

,

, (7)

,

;

при р =1

,

, (8)

,

.

Процедура численного сглаживания может применяться последовательно несколько раз. После вычисления сглаженных значений ряда строится его графическое изображение (рис. 3).

Рис. 3. Графики исходного и сглаженного ряда

Аналогичным способом производится сглаживание ряда по любому нечетному числу т членов ряда. В случае отсутствия необходимых формул, вычисление первых и последних членов сглаженного ряда не производится и в соответствующих строках расчетной таблицы ставится прочерк.

При сглаживании по четному числу членов ряда сначала вычисляются средние значения т уровней ряда, которые затем центрируются, т.е. в качестве сглаженных значений принимаются средние значения двух рядом стоящих средних.

В общем случае (линейное сглаживание, р=1) расчет сглаженных значений у в случае нечетной длины интервала сглаживания m=2g+1 осуществляется по формуле

, (9)

где t=g+1,…, n-g (для m=3 значение g=1, для m=5 значение g=2).

Расчет сглаженных значений в случае четной длины интервала сглаживания m=2g производится по формуле

, (10)

где t=g+1,..., n-g (для m=4 значение g=2).

Расчет сглаженных значений для незаполненных уровней ряда, в котором отсутствует цикличность, можно произвести на основании средних абсолютных приростов.

Сглаженные значения в начале временного ряда рассчитываются путем последовательного вычитания среднего прироста на первом активном участке из первого доступного сглаженного значения. Сглаженные значения в конце временного ряда рассчитываются путем последовательного прибавления среднего прироста на последнем активном участке к последнему доступному сглаженному значению. Под первым и последним активными интервалами понимаются интервалы, значения которых используются при расчетах первого и последнего усредненного значения.

В случае m=3 (g=l) первый активный участок включает в себя три первых уровней ряда, средний прирост , последний активный участок - три последних уровня ряда, .

В случае m=5 (g=2) первый активный участок включает в себя пять первых уровней ряда, средний прирост , а последний активный участок - пять последних уровней ряда и .

Поскольку расчет сглаженных значений для m=5 и m=4 производится по значениям одних и тех же интервалов, то средние приросты для этих значений параметра m также одинаковы.

В случае m=3 необходимо рассчитать сглаженные значения только для первого и последнего уровней ряда:

; . (11)

В случае m=5 необходимо рассчитать сглаженные значения для двух первых и двух последних уровней ряда:

; ; (12)

; . (13)

Аналогично в случае m=4 необходимо рассчитать сглаженные значения для двух первых и двух последних уровней ряда по формулам (12, 13).

Уравнение тренда

В статистике построение аналитической функции (уравнения тренда) для моделирования тенденции временного ряда называют аналитическим выравниванием (сглаживанием) временного ряда. Для этого чаще всего применяются следующие функции:

1. полиномиальная

(k - степень полинома);

2. линейная (частный случай полиномиальной при k =l), используется для описания процессов, развитие которых протекает во времени равномерно. Параметр b ₀ интерпретируется как параметр начальных условий (значение переменной y_t в нулевой момент времени t = 0), b₁- как скорость роста y_t;

3. параболическая (частный случай полиномиальной при k =2), используется для описания процессов, развитие которых характеризуется равноускоренным ростом (снижением). Параметр b ₀ интерпретируется как параметр начальных условий (значение переменной y_t в нулевой момент времени t =0), b₁ - как скорость роста и b ₂ - как ускорение роста y_t,

4. показательная ;

5. экспоненциальная ;

6. степенная ;

7. гиперболическая .

Параметры уравнений трендов, как правило, определяются методом наименьших квадратов. В качестве независимой переменной выступает время t =1,2,... n, а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда у_t. Критериями отбора наилучшей формы тренда являются наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации и наименьшее значение средней относительной ошибки аппроксимации Ā.

На практике при выборе формы тренда обычно используют положения и выводы экономической теории, визуальный анализ графика ряда, а также результаты исследования структуры ряда (автокорреляция уровней ряда (см. пункт 6), определение степени полиномиального тренда (см. пункт 5). На рис. 2 изображен линейный тренд, на рис. 4 - полиномиальный тренд.

Оценка качества уравнения тренда производится аналогично оценке качества уравнения регрессии с помощью средней относительной ошибки аппроксимации, критериев Фишера, Стьюдента и Дарбина-Уотсона.

Поиск по сайту: