Примеры. 1) Вычислить сумму матриц и

1) Вычислить сумму матриц и .

.

2) Умножить матрицу на 4.

.

3) Вычислить , если , .

Эти же задачи в программе Maxima решаются с помощью следующих команд. А: matrix([3,5,7,2],[2,-1,0,4]); В: matrix([1,2,4,1],[2,-3,2,4]); А+В; 4*А; А1: matrix([3,5],[2,-1]); А1.В.

§1.4. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений

Метод решения систем уравнений, применяемый в данном разделе, пригоден для решения систем любого порядка. Демонстрироваться он будет на системах трех уравнений с тремя неизвестными

Для данного вида систем вводятся понятия матрицы системы (матрицы коэффициентов системы)

,

и расширенной матрицы, включающей свободные члены системы

.

Система уравнений совместная, если она имеет хотя бы одно решение. Система, не имеющая решений, называется несовместной.

Совместная система может одно и более решений. Если решений системы более одного, то их бесчисленное множество. Имеет место

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранги матрицы системы и расширенной матрицы совпадали. Ранг в этом случае называют рангом системы уравнений.

Если ранг системы равен числу неизвестных, то система называется определенной и имеет единственное решение. Если ранг системы меньше числа неизвестных, система неопределенная и имеет бесчисленное множество решений.

Метод Гаусса отличается от метода Крамера тем, что он предлагает единый процесс получения решения как совместных, так и несовместных систем уравнений.

Основан метод Гаусса на следующих свойствах систем уравнений.

1) Умножение обеих частей некоторого уравнения системы на не равное нулю число, не меняет ее решения.

2) Если умножить обе части одного из уравнений системы на некоторое число и прибавить полученное уравнение к другому уравнению системы, новая система уравнений будет иметь то же решение, что и исходная.

Иногда системы уравнений, имеющих одинаковое решение, называют эквивалентными или равносильными. Матрицы из коэффициентов эквивалентных систем, можно условно назвать эквивалентными (~) -знак эквивалентности ).

Поскольку эквивалентные системы уравнений отличаются только коэффициентами при неизвестных, выгоднее работать не с самими системами, а с матрицами из коэффициентов этих систем.

Продемонстрируем метод Гаусса на системе трех уравнений с тремя неизвестными. Дана система уравнений

,

Расширенная матрица этой системы уравнений имеет вид

.

Ясно, что матрица несет всю информацию о системе уравнений.

Основная идея метода – приведение матрицы к ступенчатому («треугольному») виду, когда на месте элементов будут стоять нули. Очевидно, последнее уравнение, соответствующее ступенчатой матрице, будет содержать только одну неизвестную (или ни одной), в предыдущем уравнении неизвестных будет две и только в первом уравнении их будет три.

В результате преобразований матрицы получаем

.

Эквивалентной матрице соответствует система уравнений

,

причем решение этой системы совпадает с решением исходной системы.

Рассмотрим возможные варианты.

1) пусть , то есть равны нулю только два первых элемента последней строки ступенчатой матрицы, тогда , из второго уравнения определяется , из первого . Сюда же входит случай , тогда .

2) система несовместна в следующих случаях

2а) если , , что невозможно ни при каких ,

2в) при . второе уравнение системы не имеет решения.

3) при , тогда третья строка состоит из нулей, и ранг ступенчатой матрицы, а, следовательно, основной матрицы исходной системы уравнений меньше трех. Как уже говорилось выше, система имеет бесчисленное множество решений. Покажем это. Имеем систему двух уравнений с тремя неизвестными

.

3а) Если , то из второго уравнения рассматриваемой системы имеем , после чего из первого уравнения получаем

.

В результате получаем формулы

позволяющие для любого значения определить и , то есть получить тройку чисел, являющуюся одним из бесконечного множества решений эквивалентной, а следовательно и исходной системы уравнений. Аналогично можно построить и любое другое решение.

3в) При имеем , тогда

.

Опять бесчисленное множество решений, для каждого по приведенным формулам определяются и , причем в этом случае для всех троек решений одинаково.

3c) При имеем еще один вариант бесчисленного множества решений, определяемый формулой

.

Здесь и задаются произвольно, определяется из приведенной формулы.

Примеры. 1) Решить систему уравнений .

Процедуру приведения данной системы к эквивалентной удобнее осуществлять, когда коэффициент при стоящей слева неизвестной (в нашем случае при ) хотя бы в одном уравнении был равен единице, тогда в эквивалентной матрице не появится дробных чисел. Для этого поменяем местами уравнения системы

и запишем ее расширенную матрицу

.

Создаем нули во второй и третьей строках первого столбца, для чего умножаем первую строку на и прибавляем ко второй строке, затем умножаем первую же строку на и суммируем с третьей строкой, тогда

.

Умножаем вторую строку на и прибавляем ее к третьей строке

.

Построена ступенчатая матрица, соответствующая исходной расширенной матрице и соответствующая ей система уравнений имеет вид

.

Из третьего уравнения имеем , из второго , из первого

. Итак, получено единственное решение данной, а, следовательно, исходной системы уравнений .

Проверка результата .

2) Решить систему уравнений .

Имеем

.

В целях упрощения решения при переходе от второй матрицы к третьей вторая и третья строки были поделены на 4 и 2 соответственно.

Запишем систему уравнений, соответствующую полученной матрице

. Очевидно, .

Проверка: .

3) Решить систему уравнений

Преобразуем расширенную матрицу системы

.

Запишем последнее из уравнений, соответствующее полученной расширенной матрице . Это равенство невозможно ни при каких значениях , следовательно, эквивалентная система уравнений не имеет решения, и исходная система уравнений также несовместна.

4) Решить систему уравнений .

Тогда

.

Последнее уравнение тождественно выполняется при любых значениях неизвестных, остается система двух уравнений относительно трех неизвестных

.

Из второго уравнения имеем . Из первого уравнения получаем . В итоге

.

Проверка: .

Системы уравнений можно решать с помощью программы Maxima следующим образом.

Вначале определяем ранг основной матрицы системы – матрицы из коэффициентов при неизвестных – с помощью команды rank.

Если ранг этой матрицы совпадает с числом неизвестных, решение системы единственное. Определяем его с помощью команды solve.

Если ранг матрицы меньше числа неизвестных, определяем ранг расширенной матрицы. Когда ранг расширенной матрицы больше ранга основной матрицы, система не имеет решения (несовместна).

Если ранги обеих матриц совпадают, но меньше числа неизвестных, используем команду solve.

Поиск по сайту: