Кинематические пары классифицируются по числу связей (условий связи), налагаемых на относительные движения двух звеньев относительно друг друга

У звена в пространстве 6 степеней свободы: три поступательных и три вращательных (Рис. 3).

		H –число степеней свободы; S –число связей;   У несвязанного тела в пространстве 6 подвижностей. H=6 Три вращательных подвижности Три поступательных подвижности

Рис. 3

При наложении на звено S связей число степеней свободы становится равным H=6-S в относительном движении. В этой формуле S - число связей накладываемое элементами пары на относительное движение звеньев.

Рис. 4

ПРИМЕРЫ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПАР

Рассмотрим примеры изображения кинематических пар на кинематических схемах в соответствии с ГОСТ 2.770-68 “Обозначения условные графические в схемах. Элементы кинематики”.

Шар на плоскости (Рис. 5). Пара 1 класса. S=1

Рис. 5

Цилиндр на плоскости (Рис.6). Пара 2 класса, S=2

Рис. 6

Сферический шарнир (Рис.7). Пара 3 класса. S=3

Рис. 7

Плоскостная пара (Рис 8). Пара 3 класса. S=3

Рис. 8

Цилиндрическая пара (Рис. 9). Пара 4 класса. S=4

Рис. 9

Сферический шарнир с пальцем (Рис10). Пара 4 класса. S=4

Рис. 10

Поступательная пара V класса (Рис 11). Пара 5 класса. S=5

Рис. 11

Вращательная пара 5 класса (Рис.12). Пара 5 класса. S=5

Рис.12

Последней парой рассмотрим пару, представленную на Рис 13. Это винтовая кинематическая пара.

		Она также является парой 5 класса с одной подвижностью, хотя, казалось бы, имеются два относительных движения: вдоль оси и вокруг оси. Однако эти два движения функционально связаны параметрами винта, и в итоге наложенных независимых связей пять.

S=5

Рис. 13

В плоских механизмах наибольшее распространение получили поступательная и вращательная пары 5 класса.

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ СОЕДИНЕНИЯ.

В некоторых случаях по конструктивным соображениям между звеньями, образующими кинематическую пару, помещают промежуточные тела, например ролики или шарики в подшипниках качения. Эти сложные соединения, сохраняя относительное движение звеньев с точки зрения кинематики, эквивалентны обычным кинематическим парам. Такие соединения называются кинематическими соединениями.

Кинематическим соединением называется соединение двух звеньев через промежуточные тела.

Подшипники качения могу образовывать кинематические соединения различного класса: 3,4,5. Кинематические соединения могут быть и других видов и применяться для других целей, чем в подшипниках качения, где соединение значительно уменьшает силу трения.

Например, в манипуляторах роботов часто используют сферический шарнир для соединения звеньев. Однако в сферическом шарнире трудно реализовать конструктивно вращательный привод по каждой из координат в отдельности. Поэтому вместо сферического шарнира используют эквивалентное кинематическое соединение III класса, состоящее из нескольких звеньев и кинематических пар (Рис. 14).

Рис. 14

Подобного типа соединений большое разнообразие. Они могут быть от 1 га до V-го классов. Примеры их можно найти в монографии Леонида Николаевича Решетова “ Самоустанавливающиеся механизмы”.

На Рис.15 представлено кинематическое соединение для передачи усилия вдоль промежуточного тела 3.

Это кинематическое соединение 1 класса. S=1

Рис 15

При последовательном соединении кинематических пар в кинематическом соединении подвижности складываются. H=H₁+H₂-f, где f – местная избыточная подвижность.

В нашем случае последовательно соединены два сферических шарнира с тремя вращательными подвижностями в каждом. Общая подвижность соединения равна 5.

H= 3 + 3 – 1 =5

Единица вычитается, так как одна подвижность (вращение вокруг своей оси дополнительного тела) сдублирована в двух шарнирах. В результате образуется местная избыточная подвижность в кинематическом соединении- вращение промежуточного тела вокруг своей оси. Как видно, подвижность эта безвредна, она позволяет звену самоустанавливаться, не влияя на общую работу соединения, передающего усилие вдоль оси.

На Рис.16 представлено кинематическое соединение для передачи момента.

Рис.16

Общая подвижность такого кинематического соединения равна пяти.

H= Н₁-Н₂-f= 3 + 3 – 1 = 5

Здесь также одна местная подвижность- свободная самоустановка промежуточного тела 3 вдоль оси z. В этом направлении в последовательно соединенных плоскостных кинематических парах есть дублирующая подвижность.

Интересно отметить, что этому соединению нельзя найти аналога среди кинематических пар. Нет кинематической пары 1- го класса для передачи только крутящего момента, хотя, как видим, кинематическое соединение существует.

На кинематических схемах кинематическое соединение допустимо заменять кинематической парой, если у соединения есть такой аналог, как в рассмотренном примере. Однако такое бывает не всегда. Есть соединения, для которых нет аналогов в кинематических парах.

На Рис. 17 показано кинематическое соединение I-го класса эквивалентное кинематической паре – шар на плоскости, тоже I –го класса.

Рис. 17.

Это кинематическое соединение может быть реализовано как скользун электровоза. Скользун предназначен для передачи вертикальных усилий со стороны корпуса на платформу электровоза. Скользун передает усилие только в одном направлении - вертикальном, никаких других усилий и моментов он не передает. В этом кинематическом соединении все пары низшие, с контактом по поверхности, это выгодно отличает его от эквивалентной кинематической пары – шар на плоскости.

Такие кинематические соединения позволяют сделать статически определимой передачу усилий и моментов с помощью только низших кинематических пар, что позволяет получить большую несущую способность и точно рассчитать и выбрать все размеры.

Кинематические цепи и их классификация. Степень подвижности кинематической цепи.

Кинематическая цепь - это связанная система звеньев, образующих между собой кинематические пары.

Все механизмы можно изобразить в виде кинематической цепи того или иного вида.

				Цепь называют разомкнутой, если есть звенья, входящие только в одну кинематическую пару.
		Цепь называется замкнутой, если каждое звено входит не менее чем в две кинематические пары.

Рис. 18

Любой механизм, а следовательно и его кинематическая цепь, является трехмерным объектом и к нему применимы результаты его анализа как пространственного объекта.

Кроме трехмерного пространства известны три двумерных пространства. Это плоская и сферическая поверхности, на которых неизменяемая фигура имеет три степени свободы и поверхность кругового цилиндра, на котором неизменяемая фигура имеет 2 степени свободы. Это все типы поверхностей, на которых неизменяемая фигура имеет больше чем одну степень свободы.

Рис.19

В соответствии с этим существует три семейства кинематических цепей:

I семейство - шести свободные или пространственные кинематические цепи.

II семейство - трех свободные / плоские и сферические/

III семейство - двух свободные /цилиндрические /

Во II и III семействах траектории всех точек звеньев лежат на цилиндре, сфере или плоскости.

В поверхностных цепях связи можно разделить на нормальные и тангенциальные.

Нормальные связи не допускают перемещения перпендикулярные поверхности.

Тангенциальные связи накладывают в кинематических парах ограничения на движения по соответствующей поверхности.

Аналогичные определения существуют и для подвижностей.

Структурная формула пространственной кинематической цепи.

Структурной формулой называется зависимость, связывающая степень свободы кинематической цепи с числом звеньев, числом и классом кинематических пар и другими параметрами. Знание числа степеней свободы важно для конструктора.

Если на движение звена в пространстве не наложено никаких связей, то звено обладает шестью степенями свободы. Тогда, если число звеньев кинематической цепи равно к, то общее число степеней свободы, которыми обладают к звеньев до их соединения в кинематические пары равно 6к.

Соединение звеньев в кинематические пары накладывает различное число связей на относительное движение звеньев, зависящее от класса пар. Если число пар 5 класса P₅ , то они накладывают число связей 5P₅.

Пусть

P₁- число кинематических пар 1 класса в цепи. Каждая накладывает 1 связь.

P₂- число кинематических пар 2 класса в цепи. 2 связи.

P₃- число кинематических пар 3 класса в цепи. 3 связи.

P₄- число кинематических пар 4 класса в цепи. 4 связи.

P₅- число кинематических пар 5 класса в цепи. 5 связей.

Чтобы подсчитать степень свободы кинематической цепи надо из числа степеней свободы, которыми обладают звенья до их вхождения в кинематические пары, исключить те степени свободы, которые отнимаются вхождением звеньев в кинематические пары

H= 6k-5P₅-4P₄-3P₃-2P₂-P₁

В конструкциях механизмов применяются обычно замкнутые и незамкнутые кинематические цепи, у которых одно из звеньев неподвижно, т.е. является стойкой. При изучении движения всех звеньев механизма мы рассматриваем чаще всего эти движения относительно стойки. В этом случае число степеней свободы уменьшается на 6.

W=H-6

Число W называется числом степеней подвижности кинематической цепи или кратко степенью подвижности. Степень подвижности вычисляется по формуле

W=6(k-1)- 5P₅-4P₄-3P₃-2P₂-P₁

Обозначим через n=k-1 число подвижных звеньев кинематической цепи, тогда

W=6n- 5P₅-4P₄-3P₃-2P₂-P₁

Эта формула не совсем точна. Некоторые кинематические пары будут накладывать на звенья условия связей, которые уже были наложены в других парах. Поэтому в правой части необходимо учесть число так называемых избыточных повторяющихся связей, которые дублируют другие связи, не уменьшая подвижности механизма, а только обращая его в статически неопределимую систему. Их число обозначим как q.

Кроме того, в контурах кинематической цепи могут встретиться звенья, которые могут произвольно двигаться, не влияя на общее движение звеньев в контуре. Такие подвижности называются избыточными местными подвижностями и их также необходимо выделить. Обозначим число избыточных местных подвижностей через f.

В итоге получим

W=6n- 5P₅-4P₄-3P₃-2P₂-P₁+q-f

Равенство носит название формулы подвижности или структурной формулы кинематической цепи общего вида.

Формула носит название формулы Сомова-Малышева. Впервые выведена П.О. Сомовым в 1887 г. и развита А.П. Малышевым в 1923 году.

Павел Осипович Сомов 1852-1919.Отец его Осип Иванович Сомов работал в Петербургском университете, был ординарным академиком по кафедре чистой математике / после смерти Остроградского М.В./ с 1862 г. Много сделал для разработки курса теоретической механики. Сын, Павел Осипович также читал в Петербургском университете курс теории механизмов. С 1987 г работал в Варшаве в Варшавском политехническом институте. Занимался вопросами теории шарнирных механизмов и вопросами теории структуры механизмов. В 1887 г. опубликовал статью “ О степени свободы кинематической цепи” Теоретическое значение этой работы очень велико. Он в ней рассматривал цепи самого общего вида, как плоские, так и пространственные, в то время неизвестные в технике.

Александр Петрович Малышев в 20 е. годы прошлого века начал свою деятельность в Томском технологическом институте, где работал в области ТММ. По рекомендации Николая Ивановича Мерцалова приглашен в Москву для организации кафедры ТММ в текстильном институте. Имеет много работ по динамике сложных текстильных машин. Первый показал возможности применения ТММ в проектировании машин.

Так как в механизме звенья движутся определенным образом, то важным является вопрос: как связана определенность движения со степенью подвижности.

Если механизм обладает одной степенью подвижности, то одному из звеньев механизма мы можем задать относительно стойки определенный закон движения, например вращательное или поступательное (одна обобщенная координата). При этом все остальные звенья механизма получают вполне определенные движения, являющиеся функциями заданного. Если механизм обладает двумя степенями подвижности, то необходимо задать одному из звеньев два независимых движения относительно стойки (две обобщенные координаты) или двум звеньям по одному независимому движению.

Таким образом, W характеризует число контурных подвижностей механизма, число обобщенных координат, число двигателей запитывающих механизм, число независимых уравнений движения, описывающих динамику работы механизма.

Второй важной для конструктора величиной в формуле Сомова-Малышева является q -число избыточных пассивных связей. При конструировании необходимо добиваться, чтобы это число равнялось нулю, или, по крайней мере, оставшиеся лишние связи были бы безвредны.

Третьей важной величиной является f - число избыточных местных подвижностей

СТРУКТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ПОВЕРХНОСТНЫХ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Основная подвижность кинематической цепи лежит среди тангенциальных подвижностей. Поэтому для выявления числа контурных подвижностей желательно получить такие структурные формулы, в которые не входили бы нормальные связи.

Выведем структурную формулу для трех подвижных кинематических цепей, то есть для плоских и сферических механизмов.

На плоскости звено имеет три подвижности, в кинематической паре могут быть наложены либо две тангенциальных связи, либо одна. Обозначим

P^t₂ -число кинематических пар с двумя тангенциальными парами

P^t₁ - число кинематических пар, накладывающих одну тангенциальную связь.

q^t - число лишних тангенциальных связей

f^t - число избыточных местных тангенциальных подвижностей

Формула для плоских кинематических цепей имеет вид

W_плоск= 3n-2 P^t₂ - P^t₁ + q^t - f^t

Если предположить, что в каждой паре к тангенциальным связям добавлены по три нормальных связи, хотя конструктивно это делать часто нецелесообразно, так как при этом добавится много нормальных лишних связей, то все пары станут либо парами пятого, либо четвертого классов. При чем часто условно пятого или четвертого, конструктивно они могут быть и первого и второго классов. Поэтому формула для степени подвижности перепишется как

W_плоск= 3n-2 P₅ - P₄ + q^t - f^t

Эта структурная формула для плоских механизмов исторически появилась раньше пространственной формулы. Она носит название формулы П.Л. Чебышева.

Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) считается создателем Петербургской математической школы. Он же первым применил к задачам механики машин математические методы и преобразовал ТММ из науки описательной в науку расчетную. В 1841 году, будучи еще студентом, получил серебряную медаль за сочинение “ О численном решении алгебраических уравнений”. В 1849 году за работы по математике избран экстраординарным профессором Петербургского университета. Он был избран членом многих иностранных академий. В частности в 1860 г. членом Французской академии.

Большая его роль в создании теории шарнирных механизмов. До Чебышева их было известно не более 10. Для решения задач синтеза шарнирных механизмов он разработал специально теорию наилучшего приближения функций полиномами.

Он не только теоретически исследовал, но и сконструировал более 40 механизмов и их модификаций. Создал арифмометр со сложением, вычитанием, умножением, и делением. весьма совершенный для своего времени. Один экземпляр храниться в Национальной консерватории искусств и ремесел в Париже. Второй в Ленинградском университете. Умер от паралича сердца за столом в возрасте 73 лет.

Формула для цилиндрических кинематических цепей получается аналогичным образом.

W_цил= 2n - P₅ + q^t - f^t

Пара пятого класса накладывает только одну тангенциальную связь.

ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ W,q,f ПО СТРУКТУРНЫМ ФОРМУЛАМ

По структурным формулам определяется степень подвижности механизма.

W_плоск= 3n-2 P^t₂ - P^t₁ + q^t - f^t

В этих формулах неизвестными являются три величины W, q и f.

Из одного уравнения найти их невозможно, поэтому используем метод структурной сборки, предложенный С.А. Поповым. В этом методе последовательно шарнир за шарниром собирают структурную цепь механизма, при этом выявляются и лишние связи и и местные избыточные подвижности.

Рассмотрим структурную сборку одной кинематической пары, образованной двумя несвязанными звеньями 1 и 2 на примере цилиндрической пары 4 класса.

		Структурно собрать это значит добиться слияния, совпадения элементов этой кинематической пары – двух цилиндрических поверхностей. Для этого добьемся совпадения осей двух элементов – втулки и цапфы. Перед сборкой две оси этих цилиндров скрещиваются как на Рис. 20.

Рис. 20

На первом этапе перемещением звеньев 1 и 2 добьемся чтобы оси пересекались, чтобы у них появилась общая точка пересечения К путем слияния каких то точек К₁ и К₂. Для этого например точку К₁ переместим по осям x,y,z как показано на рис 20. Если звенья 1 и 2 свободны, ничем не связаны, такое перемещение легко осуществить. В результате оси будут пересекаться.

На втором этапе осуществим поворот осей до их совпадения. Рис 21

Рис. 21

Чтобы оси совпали необходимо эти два звена повернуть вокруг оси x и вокруг оси y. Тогда оси двух цилиндрических поверхностей совпадут и произойдет совпадение элементов кинематической пары. Рис 22

Рис 22

Аналогично и поворот вокруг оси z для сборки делать не нужно, так как в паре есть подвижность поворота вокруг оси z и сборка произойдет в безразличном взаимном положении звеньев 1 и 2.

Два этапа сборки вращательной пары V класса

Если собирать вращательную пару Y класса, то перемещение по оси z при сборке нужно делать, так как втулка должна обязательно попасть между буртиками на цапфе. Рис. 23

Рис. 23 Рис.24

Вращательная подвижность вокруг оси z уйдет на сборку элементов в безразличном относительном положении в этом направлении.

Вращательная пара в собранном виде показана на Рис. 24

Рассмотрим сборку поступательной пары 5 класса, также рассмотри два этапа: совпадение осей и совпадение элементов.

Рис. 25 Рис. 26

Поступательную пару Y класса образуют два звена:ползун 2 и направляющая 1. Чтобы собрать эту пару надо добиться, чтобы совпали оси этих призматических поверхностей. Для этого совместим вначале точки к₁ и к₂, при этом оси станут пересекающимися. Например точку к₂ ползуна перемести по осям x,y,z. По оси y перемещать не нужно, так как из за подвижности собираемой пары вдоль оси y, к₁ может располагаться в любом месте на оси и две оси станут пересекающимися. Чтобы оси совпали надо повернуть ползун вокруг трех осей x,y,z. Если два звена свободны, эти манипуляции легко сделать и в результате получим собранную кинематическую пару

Поступательная пара в собранном виде показана на Рис. 26

Соберем теперь сферический шарнир – пару Ш класса. Рис. 27.

Рис 27

В этом случае для совпадения элементов пары, двух сфер, необходимо только добиться совпадения их центров. Для этого звенья перемещают по трем осям x,y,z. Поворачивать вокруг осей не нужно, так как в паре есть три подвижности поворота вокруг этих осей и сборка (совпадение элементов) произойдет в безразличном взаимном положении звеньев относительно друг друга.

Как видим, структурная сборка любых кинематических пар при свободном, хотя бы одном звене, происходит без проблем за счет перемещения его по трем осям и поворота его вокруг трех осей.

Трудности возникают тогда, когда проводим сборку пары звеньев i и j ограниченных в своем движении кинематическими цепями, в которые они входят. Некоторые из перемещения могут отсутствовать. В этом случае в этом направлении сборка будет производиться с натягом, за счет деформации звеньев. Это означает, что связи в этом направлении на звенья i и j будут дублировать друг друга. Дублирующие связи являются лишними, они не ограничивают движение, они приводят к статической неопределимости при сборке.

Принципом структурной сборки является то, что подвижность в какой то паре цепи к которой принадлежит данное звено, используется только один раз, для сборки в одном направлении. Если какие-то подвижности не использованы для сборки, то они будут либо контурными,вызывающими изменение основного контура механизма либо местными. Местные подвижности это такие, которые приводят к подвижности звеньев, не влияющей на основную контурную подвижность. При этом звенья могут, перемещаться, самоустанавливаться, и это не влияет на движение основного контура.

Рассмотрим пример анализа с помощью структурных формул кривошипно-ползунного механизма. Рис. 28

		В этом механизме три подвижных звена: кривошип, шатун и ползун. В кинематической цепи имеются также 4 кинематические пары пятого класса A5, B5, Cc,D5. Поступательная пара D5 позволяет ползуну лишь перемещаться вдоль оси y и запрещает ему поворот вокруг этой оси.

Рис. 28

Определим степень подвижности этого механизма по формуле Сомова-Малышева.

W = 6n - 5P₅ - 4P₄ - 3P₃ - 2P₂ - P₁ + q - f

Определим методом сборки W,q,f структурной цепи этого механизма.

Рис.29

Далее к шатуну 2 присоединяем поршень 3 в поршневом пальце. Эти два звена также образуют вращательную пару Y класса. Сборка проходит без проблем, так как звено 3 при сборке передвигается свободно.

Последней осталось собрать поступательную пару D₅. При этом необходимо добиться совпадения в общем случае каких-то призматических поверхностей, например с квадратным поперечным сечением.

Рис.30

Если некоторые перемещения при сборке не достигаются подвижностями в кинематических парах, а получатся только вследствие деформации звеньев, то это указывает на наличие избыточных связей. Звено, могущее перемещаться без влияния на контурную подвижность, дает местную избыточную подвижность.

Сближение по оси X возможно за счет поворота звена 1 в шарнире B₅.

Сближение по оси Z возможно лишь за счет натяга, так как ни в одной паре нет подвижности в этом направлении. Вот уже одна избыточная связь.

После сближения по трем направлениям точки к, оси нашего собираемого шарнира пересекаются, но еще не совпадают. Поворот вокруг оси Y можно осуществить только за счет деформации звеньев. Еще один натяг, еще одна пассивная связь.

Поворот вокруг оси X можно осуществить только за счет деформации звеньев. Еще один натяг, еще одна пассивная связь.

На поворот ползуна вокруг оси z можно использовать подвижность в паре С₅

Запишем результаты сборки в виде таблицы

Местных избыточных подвижностей от самостоятельно вращающихся звеньев нет.

Общий подсчет дает q=3, f=0.

Число лишних связей равно 3, избыточных местных подвижностей нет.

Подвижность в шарнире А₅ -контурная она осталась неиспользованной, поэтому в этом механизме W=1. Проверим по формулам Сомова – Малышева и Чебышева.

При пространственном рассмотрении кривошипно-ползунного механизма n=3, Р₅=4, других пар нет и получаем

W=6n- 5P₅-4P₄-3P₃-2P₂-P₁+q-f = 6 3 -5 4 + 3 – 0 = 1

То есть одно ведущее звено, один двигатель как и получили в структурной сборке.

Степень подвижности по формуле Чебышева тоже равна единице.

W=3n- 2P₅-P₄+q^t-f^t=3 3 - 2 4 =1

Лишние тангенциальные связи q^t и местные подвижности f^t можно определить произведя структурную сборку, но уже в плоскости

Рис. 31

Последней в плоскости собираем пару D₅. Перемещать надо только по тангенциальным подвижностям. Нормальные устраняются из рассмотрения, так как механизм плоский. Как видим из таблицы перемещение по x осуществляем за счет поворота шатуна и подвижности в В₅ по y сборка в безразличном положении за счет поступательной подвижности в D₅ и поворот вокруг оси z осуществляем за счет подвижности в С₅. Подвижность в А₅ будет тангенциальной контурной подвижностью плоского механизма. Как видим тангенциальных лишних связей q^t и местных подвижностей f^t нет. Этот результат также следует и из анализа, как пространственного механизма. Лишние связи лежат среди нормальных. Тангенциальных нет.

Лишние связи можно устранить, выбрав кинематические пары более низких классов. Рассмотрим тот же пример, но в кинематической паре D применим пару D₄ вместо пары D_5, как было ранее. Используем вместо призм цилиндрические поверхности. Понизили класс этой пары. В этом случае при сборке не нужно ползун поворачивать вокруг оси y. На сборку в этом направлении идет вращательная подвижность в D₄.

Рис. 32

Общий подсчет дает q=2, f=0.

Число лишних связей равно двум; избыточных местных подвижностей нет.

Подвижность в шарнире А₅ -контурная она осталась неиспользованной.

W=6n- 5P₅-4P₄-3P₃-2P₂-P₁+q-f = 6 3- 5 3- 4 + 2- 0 = 1

То есть одно ведущее звено, один двигатель.

Степень подвижности по формуле Чебышева тоже равна единице.

W=3n- 2P₅-P₄+q^t-f^t = 3 3 - 2 4 = 1

q^t=0; f^t=0

Для сближения звеньев при сборке используем подвижности в кинематических парах. Каждую подвижность можно использовать только один раз.

В формуле П.Л. Чебышева пара D₄ считается условной парой 5-го класса, так как вращение вокруг оси y - нормальная подвижность, которая в плоских механизмах отсутствует. Поэтому подсчет по формуле П. Л. Чебышева остается прежним.

Другой вариант понижения класса пар для устранении лишних связей показан на Рис. 33.

Рис. 33

Общий подсчет дает q=1, f=1.

Здесь вместо поршневого пальца С₅ стоит сферический шарнир С₃. Рис 33

В этом варианте возникает только одна лишняя связь – перемещение по оси z. Ни в одной паре нет возможностей такого перемещения. Вместе с тем остаются неиспользованными для сборки подвижность в А₅ вращения вокруг оси z, она становится контурной подвижностью и подвижность вращения вокруг оси y в паре С₃, которая вместе с подвижностью вращения в D₅, позволяет поршню вращаться вокруг своей оси. Это местная избыточная подвижность. Вращение поршня позволяет ему при работе самоустанавливаться и не влияет на контурную подвижность механизма.

Число лишних связей равно q=1, избыточных местных подвижностей f=1.

Подвижность в шарнире А₅ -контурная она осталась неиспользованной при сборке.

W=6n- 5P₅-4P₄-3P₃-2P₂-P₁+q-f = 6 3-52-4-3+1-1=1

То есть одно ведущее звено, один двигатель.

Степень подвижности по формуле Чебышева тоже равна единице.

W=3n- 2P₅-P₄+q^t-f^t=3 3 - 2 4 =1

В плоском варианте все кинематические пары считаются условно парами 5 класса, так как и С₃ и D₄ накладывают в плоскости две тангенциальные связи. Методом структурной сборки плоского механизма, как и в предыдущем примере можно установить что f^t=0; q^t=0

Рассмотрим еще один вариант уменьшения лишних связей в кривошипно-ползунном механизме. Рис.34. Это вариант разбиения шатуна на две части и постановкой там вращательной пары 5 класса E₅. Так как механизм плоский, такой шатун при работе механизма будет составлять жесткое целое, то есть будет являться твердым телом. Наличие пары Е₅ лишь устраняет одну лишнюю связь.

Рис. 34

Общий подсчет дает q=1, f=0.

Число звеньев n=4, пар пятого класса P₅=4, четвертого P₄=1

W=6n- 5P₅-4P₄-3P₃-2P₂-P₁+q-f = 6 4 - 5 4 –4 + 1 +0 = 1

По формуле Чебышева получаем

Число звеньев n=3, пар пятого класса P₅=4, четвертого P₄=0

W=3n- 2P₅-P₄+q^t-f^t=3 3 - 2 4 =1

При этом пара 4 класса превращаются в условно пару 5 класса. Звенья 2 и 3 считаются как одно звено и пара Е₅, которая дает нормальную подвижность, считается отсутствующей.

Лишние местные тангенциальные степени свободы, и избыточные пассивные тангенциальные связи.

В предыдущих примерах встречались лишь нормальные лишние связи и избыточне местные подвижности. НО такие же бывают и тангенциальными.

Пример плоского механизма с лишней тангенциальной связью.

Рис. 35 Рис.36

Сборка в плоскости контура ABD и контура FGD происходит без натягов, за счет подвижностей кинематических пар в цепи. Осталось собрать последнюю пару М₅. Ось на стойке и ось ползуна не совпадают. Чтобы они пересеклись надо в направлении Y собрать с натягом, деформировав звено 4. Дальше сборка произойдет за счет подвижностей в H₅ и М_5.

Если бы длины EG и GH были разные, то была бы ферма, неизменяемая конструкция. Ползун 6 ставится для усиления конструкции при этом появляется лишняя тангенциальная связь.

По формуле П.Л. Чебышева n=6, P₅=9, q^t=1, f^t =0

W=3n- 2P₅-P₄+q^t-f^t=36 - 2 9+1-0 = 1

Механизм с устраненной лишней связью показан на Рис 36.

С одной избыточной местной подвижностью будет кулачковый механизм с роликовым толкателем.

Рис. 37

ЗАМЕНА В ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМАХ ВЫСШИХ ПАР НИЗШИМИ

В плоские механизмы могут входить, как высшие пары IY класса с одной тангенциальной связью, так и низшие пары Y класса с двумя тангенциальными связями. При изучении структуры и кинематики механизмов во многих случаях удобно заменить высшие пары кинематическими цепями или звеньями, входящими только в низшие вращательные и поступательные пары Y класса.

При такой замене должны соблюдаться условия, которые делают основной и заменяющий механизмы эквивалентными. Эти условия назовем принципы замены.

Принципы замены:

1. Основной и заменяющий механизмы должны обладать одинаковой степенью подвижности W.

2. Должна быть одинаковая кинематика (одинаковые мгновенные скорости и ускорения) основных звеньев. Другими словами при одинаковой скорости ведущих звеньев мгновенные скорости и ускорения ведомых звеньев будут одинаковы.

Рассмотрим механизм, показанный на рисунке. Он состоит из двух подвижных звеньев, входящих со стойкой во вращательные пары 5 класса А₅ и В₅. Между собой подвижные звенья образуют пару высшую пару 4 класса С₄. Профили звеньев, образующих высшую пару являются окружности. По формуле П. Л. Чебышева степень подвижности механизма будет

Рис. 38

Степень подвижности у заменяющего механизма такая же, как и у основного механизма. То есть выполняется первый принцип замены.

Так как элементы высшей кинематической пары образованы окружностями, длина шатуна во всех положения равна сумме радиусов и будет постоянной. Как видно из рисунка два коромысла заменяющего механизма будут двигаться полностью идентично с основными звеньями основного, первоначального. То есть мгновенные скорости и ускорения основного и заменяющего механизма будут одинаковы. Соблюдены два условия замены и построенный четырехзвенный шарнирный механизм действительно будет заменяющим.

Рассмотренный способ получения заменяющего механизма можно обобщить. Пусть задан механизм с высшей парой. Сформулируем последовательность замены высшей пары.

Поиск по сайту: