Основные сведения о матрицах

· Квадратной матрицей размера называется совокупность чисел, расположенных в виде квадратной таблицы, содержащей строк и столбцов.

.

· Главная диагональ – это часть матрицы, состоящая из элементов .

· Побочная диагональ – это часть матрицы, состоящая из элементов .

· Квадратная матрица называется диагональной, если при .

.

· Верхняя треугольная матрица – все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.

.

· Нижняя треугольная матрица – все элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю.

.

· Трехдиагональная матрица – матрица, у которой все ненулевые элементы располагаются на трех диагоналях: главной, первой сверху и первой снизу.

.

· Ленточная – квадратная матрица, все ненулевые элементы которой примыкают к главной диагонали.

.

· Единичная матрица – эта матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы равны нулю.

.

· Расширенная матрица – это матрица, полученная «склеиванием» двух матриц, как правило, для осуществления одних и тех же элементарных преобразований со строками сразу в двух матрицах. Например, для матриц , расширенная матрица будет выглядеть следующим образом:

.

· Суммой матриц A и B называется матрица C такая, что элемент .

· Матрица называется произведением матриц A и B, если элемент

. ( 1 )

Причем умножение матриц не является коммутативным, т.е. (за исключением умножения на единичную матрицу: ). Поэтому для будет справедлива формула:

. ( 2 )

Данные формулы (1) и (2) будут называться соответственно левостороннее и правостороннее произведение матриц.

· Вектор – это матрица, состоящая из одного столбца (вектор- столбец), т.е. . .

· При умножении матрицы A на вектор X мы получим некоторый вектор , элементы которого вычисляются по формуле: .

· Квадратные матрицы А и В одинакового порядка называются подобными, если существует невырожденная матрица P такого же порядка, такая что .

· Матрицей, обратной данной матрице A, называется матрица такая, что произведение A на равняется единичной матрице .

· Ортогональной называют такую квадратную матрицу A, для которой выполняется равенство .

· Невырожденной называют квадратную матрицу А, определитель которой не равен 0.

· Квадратная матрица называется симметрической, если для любых i, j, т.е. ее элементы расположены симметрично относительно главной диагонали.

· Транспонированная матрица – матрица , полученная из исходной матрицы А заменой строк на столбцы:

.

· Признаки положительной определенности матрицы

1. Критерий Сильвестра. Чтобы матрица А была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее главные миноры были положительны.

2. Достаточное условие. Диагональное преобладание, т.е. свойство влечет положительную определенность матрицы.

· Нормой вектора Х называется поставленное в соответствие этому вектору неотрицательное число , удовлетворяющее аксиомам:

1. Положительная определенность, т.е. для любого ненулевого вектора его норма больше нуля и равна нулю только для ноль вектора

2. Однородность

3.

Существует несколько способов введения нормы вектора. Наиболее употребительными являются следующие:

1) первая (кубическая) ;

2) вторая (октаэдрическая) ;

3) третья (сферическая) .

· Нормой матрицы А называется поставленное этой матрице в соответствие неотрицательное число такое, что

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Здесь Н – линейное пространство квадратных матриц n-го порядка.

Норма матрицы, как и норма вектора, может быть определена по-разному.

1) первая ;

2) вторая ;

3) , где L - наибольшее собственное значение матрицы .

· Если для любой матрицы А и любого вектора Х выполняется неравенство то говорят, что норма матрицы согласована с данной нормой вектора.

· Нормой матрицы А, подчиненной данной норме вектора, называется число - верхняя грань (т.е. максимальное число) множество норм такого вида.

· Собственным значением квадратной матрицы А n -го порядка

называется такое число λ, при котором для некоторого ненулевого вектора имеет место равенство

АХ= λХ.

Любой ненулевой вектор X, удовлетворяющий этому равенству, называется собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению λ.

· Матрица называется характеристической матрицей данной матрицы А.

· Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А, а полином - характеристическим полиномом.

· Совокупность всех собственных значений λ₁, λ₂, …, λ_n матрицы А называется спектром этой матрицы.

· Спектральным радиусом r(А) матрицы А называется максимум из модулей собственных значений этой матрицы.

· Собственные значения треугольной матрицы равны ее диагональным элементам.

.

Приложение 2

Поиск по сайту: