П 1.4 Вычисление погрешностей арифметических операций

Рассмотрим правило вычисления погрешностей арифметических операций и функций по погрешности аргументов (без учета ошибок округления). При вычислении абсолютных погрешностей обычно используются формулы дифференцирования, в которых дифференциалы независимых переменных заменяются абсолютными погрешностями: .

Пусть X ₁>0, X ₂>0 – точные значения величин, и заданы предельные абсолютные погрешности и , т.е. , . Необходимо найти погрешность суммы .

Так как дифференциал , то . Отсюда следует, что .

Теперь предположим, что X ₁> X ₂, и найдем погрешность разности . Тогда и . Поэтому .

Абсолютная погрешность суммы и разности двух приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

Это правило справедливо для произвольного числа слагаемых. Так если x₁, x₂, …, x_n имеют одну и ту же погрешность , то погрешность суммы этих слагаемых будет равна . Но реально погрешности могут иметь разные знаки и поэтому взаимно компенсировать друг друга. По правилу Чеботарева при погрешность суммы можно принять равной [20].

Для относительной погрешности суммы и разности двух чисел получаем

Для произвольного числа слагаемых

где , .

Пусть

Тогда

Поэтому

Аналогично при выполнении умножения и деления получаем погрешности (при тех же предположениях).

Найдем погрешность произведения :

Найдем погрешность частного :

Следовательно, относительная погрешность произведения двух чисел равна сумме относительных погрешностей его сомножителей.

Аналогичное правило выполняется и для частного от деления двух чисел.

Также получаются формулы для погрешностей арифметических действий при вычислении функций многих переменных. Так, для имеем следующие формулы для погрешностей [20]:

Поиск по сайту: