П 3.5 Вычисления определителя и нахождения обратной матрицы

Рассмотрим способы вычисления определителя.

Пусть дана матрица . Требуется вычислить ее определитель.

Для вычисления определителей матриц можно применять алгоритмы прямых методов решения систем линейных алгебраических уравнений [19; 20].

Преобразования прямого хода в методе Гаусса, приводящие матрицу А системы к треугольному виду таковы, что они не изменяют определителя матрицы А. Учитывая, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов, имеем.

(1)

Таким образом, определитель матрицы равен произведению всех ведущих элементов при ее преобразовании методом Гаусса [18].

Если использовать метод Гаусса с выбором главного элемента, то необходимо учесть, что при перестановке столбцов или строк знак определителя меняется на противоположный. Следовательно, значение определителя после приведения матрицы к треугольному виду будет вычисляться по формуле:

det A = ,

где ℓ - сумма перестановок строк и столбцов, осуществляемых в процессе исключения.

Для нахождения определителя симметрических положительно определенных матриц применим метод квадратного корня [18]. Определитель вычисляется следующим образом:

= . (2)

Для вычисления определителя матрицы можно использовать ее LDU-разложение [6].

Представим матрицу А в виде A = LDU,

где , , .

Определитель матрицы А вычисляется по формуле:

. (3)

Пример 1. Вычислить определитель матрицы , используя ее LDU-разложение.

Решение:

Проведем факторизацию, получаем

, , .

По формуле (3) вычисляем определитель

.

Пример 2. Вычислить определитель матрицы А по схеме метода квадратного корня

.

Решение:

Матрица А является симметричной положительно определенной. Используя формулы метода квадратного корня, находим матрицу S:

и так далее.

Получаем матрицу

.

По формуле (2) вычисляем определитель:

.

Рассмотрим методы для нахождения обратной матрицы [19].

Пусть А – невырожденная матрица n -го порядка. Нахождение матрицы, обратной данной матрице А, эквивалентно решению матричного уравнения:

АХ = Е, (4)

где – искомая матрица, Е – единичная матрица n -го порядка.

Уравнение (1) можно записать в виде системы n² уравнений:

i, j = 1, 2, …, n, (5)

где – символ Кронекера. В развернутом виде (5) выглядит следующим образом:

.

Система (5) распадается на n независимых систем линейных алгебраических уравнений с одной и той же матрицей А, но с различными правыми частями

; j = 1, 2, …, n, (6)

где ; j -ая компонента.

Полученные системы (6) можно решать одновременно методом Гаусса. При этом, т.к. все системы имеют одну и ту же матрицу А, достаточно один раз совершить прямой ход. Но для каждой системы (6) делается обратный ход.

Для обращения матрицы весьма эффективным является метод Жордана-Гаусса [19].

Пример 3. Найти обратную матрицу, используя метод Жордана-Гаусса.

.

Решение:

Составим объединенную таблицу:

A

Прибавим первую строку ко второй строке, умножив на –2 и к третьей строке, умножив на –3:

A
	–3 –4	–4 –8	–2 –3

Делим коэффициенты во второй строке на –3, чтобы значение коэффициента a ₂₂ было равно 1:

A
	–4	1.333 –8	0.667 –3	–0.333

Прибавим вторую строку таблицы к первой и третьей, умножив на –2 и 4 соответственно:

A
		0.333 1.333	–0.333 0.667 0.125	0.667 –0.333 0.5	–0.375

Прибавим третью строку таблицы к первой и ко второй, умножив на –0.333 и –1.333 соответственно:

A
			–0.375 0.5 0.125	0.5 –1 0.5	0.125 0.5 –0.375

В полученной таблице столбцы e ₁, e ₂ и e ₃ составляют искомую обратную матрицу

.

В результате применения метода Жордана-Гаусса на основе факторизации (см. п 3.3) получим матрицу , откуда следует, что . Таким образом, достигается разложение обратной матрицы на элементарные сомножители.

Находить обратную матрицу можно, исходя из ее LU-разложения [19].

Имеем невырожденную квадратную матрицу А. Представим
ее в виде , где L – матрица вида ,
U – матрица вида .

Для нахождения обратной матрицы необходимо решить систему (7)

LUX = E, (7)

где E – единичная матрица, – искомая матрица.

Представим единичную матрицу как совокупность вектор-столбцов:

, , …, .

Решение системы (7) состоит из двух этапов.

На первом этапе производится решение систем следующего вида: . Решением являются вектора

На втором этапе необходимо решить системы вида: .

Искомая обратная матрица состоит из векторов-решений .

Пример 4. Найти обратную матрицу для матрицы , используя LU-разложение.

Решение:

Проведем факторизацию

При к=1:

При к=2:

При к=3:

В результате получены две треугольные матрицы:

, .

Решим системы , где , , .

Составим объединенную таблицу:

L
7/3 2/3	–5/2

Прибавим первую строку ко второй строке, умножив на –7/3 и к третьей строке, умножив на –2/3:

L
	–5/2		–7/3 –2/3

Прибавим вторую строку к третьей строке, умножив на 5/2:

L
			–7/3 –13/2	5/2

Следовательно .

Теперь решаем системы .

Объединенная таблица имеет вид:

U
	–4/3	1/3 5/2	–7/3 –13/2	5/2

Третью строку делим на 5/2:

U
	–4/3	1/3	–7/3 –13/5		2/5

Прибавим третью строку ко второй, умножив на –1/3, и к первой, умножив на –2:

U
	–4/3		31/5 –22/15 –13/5	–2 2/3	–4/5 –2/15 2/5

Вторую строку делим на –4/3:

U
			31/5 11/10 –13/5	–2 –1/2	–4/5 1/10 2/5

Прибавим вторую строку к первой, умножив на –1:

U
			51/10 11/10 –13/5	–3/2 –1/2	–9/10 1/10 2/5

Разделим первую строку на 3:

U
			17/10 11/10 –13/5	–1/2 –1/2	–3/10 1/10 2/5

Следовательно, столбцы и составляют обратную матрицу .

Поиск по сайту: