АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

П 3.8 Метод Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений

Читайте также:
  1. A) к любой экономической системе
  2. A) прогрессивная система налогообложения.
  3. C) Систематическими
  4. CASE-технология создания информационных систем
  5. ERP и CRM система OpenERP
  6. HMI/SCADA – создание графического интерфейса в SCADА-системе Trace Mode 6 (часть 1).
  7. I Понятие об информационных системах
  8. I СИСТЕМА, ИСТОЧНИКИ, ИСТОРИЧЕСКАЯ ТРАДИЦИЯ РИМСКОГО ПРАВА
  9. I этап Подготовка к развитию грудобрюшного типа дыхания по традиционной методике
  10. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  11. I. Методические основы
  12. I. Методические основы оценки эффективности инвестиционных проектов

 

Рассмотрим метод Зейделя [20]. Этот метод является модификацией метода простых итераций и приводит к более быстрой сходимости, т.е. для получения решения с заданной точностью требуется выполнить меньшее количество итераций, а следовательно потребуется меньше затрат машинного времени.

Имеем систему линейных алгебраических уравнений

 

. (1)

 

Приведем систему (1) к эквивалентному виду

 

. (2)

 

В методе Зейделя последовательность итерационных приближений строится по правилу

 

(3)

 

или в развернутом виде

(4)

Суть метода состоит в следующем: для вычисления первой компоненты вектора необходимо знать компоненты вектора . При нахождении второй компоненты вектора используются только что найденное значение и известные значения компонент вектора и т.д. Таким образом, при вычислении компоненты вектора неизвестных на (k + 1)-й итерации используются , уже вычисленные на (k + 1)-й итерации. Значения остальных компонент берутся из предыдущей итерации.

Вектор начального приближения можно выбирать произвольно. Возьмем в качестве начального приближения вектора неизвестных вектор правых частей, т.е. , тогда метод Зейделя можно записать следующим образом

 

, (5)

 

где P=G-D, Q=B-P.

 

Метод Зейделя (5) можно трактовать как разновидность общего итерационного процесса:

 

(6)

где .

Критерием сходимости метода Зейделя служит следующее утверждение [20]:

Для того чтобы метод Зейделя сходился при любом , необходимо и достаточно, чтобы , где - все собственные значения матрицы F.

Применять данный критерий на практике неудобно, поэтому используют достаточные признаки сходимости:

1. Метод Зейделя сходится, если выполняется неравенство , где - первая или вторая норма матрицы.

2. Для сходимости метода Зейделя достаточно чтобы , но хотя бы при одном i выполнялось условие .

Условие прерывания итерационного процесса имеет вид

 

, (7)

 

где - заданная точность.

Если для одной и той же системы метод простой итерации и метод Зейделя сходятся, то последний предпочтительнее.

Области сходимости этих двух методов различны, т.е. существуют системы, для которых метод простой итерации сходится, а метод Зейделя – нет, и наоборот.

 

Пример 1. Методом Зейделя решить систему линейных уравнений с точностью .

 

Решение:

Приведение СЛАУ к эквивалентному виду аналогично приведению в методе простых итераций

 

Заметим, что ,следовательно, условие сходимости метода (2) выполнено.

Зададим вектор начального приближения .

Выполним расчеты по формуле (4)

 

На первой итерации имеем систему

.

Условие окончания итерационного процесса не выполняется, значит продолжаем процесс. На второй итерации получаем

 

.

 

Условие окончания итерационного процесса не выполняется. Продолжаем итерировать.

На третьей итерации требуемая точность достигнута .

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)