 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
П 3.8 Метод Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим метод Зейделя [20]. Этот метод является модификацией метода простых итераций и приводит к более быстрой сходимости, т.е. для получения решения с заданной точностью требуется выполнить меньшее количество итераций, а следовательно потребуется меньше затрат машинного времени.
Имеем систему линейных алгебраических уравнений
. (1)
Приведем систему (1) к эквивалентному виду
. (2)
В методе Зейделя последовательность итерационных приближений строится по правилу
(3)
или в развернутом виде
(4)
Суть метода состоит в следующем: для вычисления первой компоненты 
вектора 
необходимо знать компоненты 
вектора 
. При нахождении второй компоненты 
вектора используются только что найденное значение и известные значения компонент 
вектора и т.д. Таким образом, при вычислении компоненты 
вектора неизвестных на (k + 1)-й итерации используются 
, уже вычисленные на (k + 1)-й итерации. Значения остальных компонент 
берутся из предыдущей итерации.
Вектор начального приближения 
можно выбирать произвольно. Возьмем в качестве начального приближения вектора неизвестных 
вектор правых частей, т.е. 
, тогда метод Зейделя можно записать следующим образом
, (5)
где P=G-D, Q=B-P.
Метод Зейделя (5) можно трактовать как разновидность общего итерационного процесса:
(6)
где 
.
Критерием сходимости метода Зейделя служит следующее утверждение [20]:
Для того чтобы метод Зейделя сходился при любом , необходимо и достаточно, чтобы 
, где 
- все собственные значения матрицы F.
Применять данный критерий на практике неудобно, поэтому используют достаточные признаки сходимости:
1. Метод Зейделя сходится, если выполняется неравенство 
, где 
- первая или вторая норма матрицы.
2. Для сходимости метода Зейделя достаточно чтобы 
, но хотя бы при одном i выполнялось условие 
.
Условие прерывания итерационного процесса имеет вид
, (7)
где 
- заданная точность.
Если для одной и той же системы метод простой итерации и метод Зейделя сходятся, то последний предпочтительнее.
Области сходимости этих двух методов различны, т.е. существуют системы, для которых метод простой итерации сходится, а метод Зейделя – нет, и наоборот.
Пример 1. Методом Зейделя решить систему линейных уравнений с точностью 
.
Решение:
Приведение СЛАУ к эквивалентному виду аналогично приведению в методе простых итераций
Заметим, что 
,следовательно, условие сходимости метода (2) выполнено.
Зададим вектор начального приближения 
.
Выполним расчеты по формуле (4)
На первой итерации имеем систему
.
Условие окончания итерационного процесса 
не выполняется, значит продолжаем процесс. На второй итерации получаем
.
Условие окончания итерационного процесса 
не выполняется. Продолжаем итерировать.
На третьей итерации требуемая точность достигнута 
.
Поиск по сайту: