П 1.5 Оценка погрешности по способу границ

Способ границ применяется для оценки погрешности результата расчета по формуле, содержащей приближенные величины.

Пусть а – приближенное исходное данное, так что заданы его границы: . Нужно найти результат у, зависящий от а и поэтому также приближенный: .

Найдем границы у, т.е. два таких числа и , что . Если результат у увеличится с ростом а (например, площадь квадрата в зависимости от длины стороны), то, по определению границ, для любого и можно принять . Аналогично . Если у убывает с ростом а (например, давление воздуха с высотой), то и .

Для нахождения границ результата нужны два расчета по одному и тому же алгоритму с исходными данными и . Границы результата округляют так: – с недостатком, – с избытком. При этом в их записи сохранить все цифры до первой слева, отличие в которой и уже существенно.

Тогда значение у можем найти следующим образом:

.

А границы погрешности оцениваются:

.

Случай функции нескольких переменных.

Пусть a, b – исходные данные, известные приближенно:

, .

Если результат монотонно зависит от своих аргументов, то крайние его значения достигаются при некоторых комбинациях граничных значений исходных данных.

В общем случае следует провести 2 * 2 = 4 вычислений и выбрать из них пару: наибольший (ВГ (у)) и наименьший (НГ(у)) результаты. В случае трех исходных данных рассматривается 2³ = 8 расчетов и т.д. задача упрощается, если из ее постановки ясен характер зависимости: рост или убывание хотя бы по одному аргументу.

Пример 1. Произвести расчет по заданной формуле для приведенных исходных данных. Рассчитать границы, погрешность и значение результата.

Проведем некоторые предварительные расчеты по длинной формуле. Выясним, как зависит функция G от а ₁, а ₂, Т ₁, Т ₂.

Зафиксируем а ₁, а ₂, Т ₁ и вычислим

G(1.22, 2.33, 4.61, 6.74) = 1.946536,

G(1.22, 2.33, 4.61, 6.70) = 1.977531.

Видно, что с возрастанием T ₂ убывает функция G.

Зафиксируем , , и вычислим

G(1.22, 2.33, 4.62, 6.72) = 1.964724,

G(1.22, 2.33, 4.60, 6.72) = 1.959158.

Видно, что G возрастает с ростом T ₁.

Зафиксируем , , и вычислим

G(1.22, 2.332, 4.61, 6.72) = 1.964339,

G(1.22, 2.328, 4.61, 6.72) = 1.959528.

Видно, что G возрастает с ростом a ₂.

Зафиксируем , , и вычислим

G(1.222, 2.33, 4.61, 6.72) = 1.960553,

G(1.218, 2.33, 4.61, 6.72) = 1.963309.

Видно, что с возрастанием a ₁ убывает функция G.

Найдем границы G:

ВГ (G) = G(НГ (а ₁), ВГ (а ₂), ВГ (Т ₁), НГ (Т ₂)) = 1.984156,

НГ (G) = G(ВГ (а ₁), НГ (а ₂), НГ (Т ₁), ВГ (Т ₂)) = 1.940027.

Видно, что различие в третьей цифре уже существенно.

Округляем НГ – с недостатком, ВГ – с избытком.

ВГ (G) = 1.99,

НГ (G) = 1.94.

Тогда , .

Поиск по сайту: