Линейная зависимость векторов. Базис

Рассмотрим n векторов и n чисел .

Опр. Выражение вида называется линейной комбинацией векторов .

Опр. Векторы называются линейно зависимыми, если их линейная комбинация равна нулю при условии, что среди есть отличные от нуля.

Например, , тогда ,

есть линейная комбинация .

Итак, если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов.

Справедливо и обратно.

Опр. Векторы называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю при условии, что

Итак,

1) Два коллинеарных вектора на плоскости линейно зависимы.

2) Два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы.

Итак, для того, чтобы два вектора на плоскости были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинераны.

Теорема. Если на плоскости заданы два неколлинеарных вектора и , то любой третий вектор плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации векторов и , т.е.

. (3.2)

Следствие 1. Всякие три вектора на плоскости линейно зависимы.

Следствие 2. Если число данных векторов на плоскости больше трех, то они также линейно зависимы.

линейно зависимые.

Вывод. Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.

Аналогично Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем.

Опр. Базисом на плоскости называется два любых линейно независимых вектора плоскости, т.е. пара неколлинеарных векторов.

Базисом в пространстве называется три любых линейно независимых вектора пространства, т.е. тройка некомпланарных векторов.

Рассмотрим разложение (3.2) на плоскости , где и неколлинеарны. Коэффициенты и называются координатами вектора в базисе .

Аналогично для разложения (3.3): , где некомпланарные векторы пространства. Коэффициенты называются координатами вектора в базисе

Пример 4.1. Доказать, то векторы образуют базис в R³.

Поиск по сайту: