|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Скорости и ускорения точек вращающегося телаУстановив характеристики движения всего тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных его точек. 1. Скорости точек тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения (см. рис.9). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол dφ, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение ds=hdφ. Тогда числовое значение скорости точки будет равно отношению ds к dt, т.е Скорость в отличие от угловой скорости тела называют иногда еще линейной или окружной скоростью точки М. Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М. Так как для всех точек тела имеет в данный момент времени одно и то же значение, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения.
Рис.11 Рис. 12 2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами В нашем случае ρ=h. Подставляя значение v в выражения aτ и an, получим: или окончательно: Касательная составляющая ускорения aτ направлена по касательной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении тела и в обратную сторону при, замедленном); нормальная составляющая an всегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис.12). Полное ускорение точки М будет Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом μ, который вычисляется по формуле Подставляя сюда значения aτ и an, получаем Так как ω и ε имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол μ с радиусами описываемых ими окружностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.14.
Рис.13 Рис.14
3. Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v и a, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор точки М (рис. 13). Тогда h=r∙sinα и по формуле Таким образом, модуль векторного произведения равен модулю скорости точки М. Направления векторов и v тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерности их одинаковы. Следовательно, - формула Эйлера, т.е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки. Пример 1. Маятник OM качается в вертикальной плоскости так, что φ=0,5sin2t. Длина OM= l =1м. (рис. 15). Рис.15
Решение. Маятник вращается вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной вертикальной плоскости. Угловая скорость угловое ускорение Например, при t=1 с, φ=0,5sin2=0,45 рад≅26°; ω=cos2=-0,42 c-1 (вращение по часовой стрелке); ε=-2sin2=-1,82 c-2 (угловое ускорение направлено также по часовой стрелке). Вращение в этом положении ускоренное. Скорость точки M: vM= l ω=1∙0,42=0,42 м∙с-1 (определяется модуль скорости). Направлен вектор скорости соответственно направлению угловой скорости – в сторону вращения.
Нормальное ускорение an= l ω2=1∙0,422=0,176 м∙с-2, касательное ускорение aτ= l ε=1∙1,82=1,82 м∙с-2. (Определён опять модуль вектора ускорения. Направлен вектор вниз, как указывает угловое ускорение). Величина полного ускорения точки
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |